正交矩阵与欧式空间旋转的特征值证明

"第九章习题解答涉及正交矩阵和欧式空间的特征值、线性相关性及正交变换等概念。" 在数学的线性代数领域，正交矩阵是一类特殊的方阵，其行（或列）向量都是单位向量，并且两两之间正交。这些性质对矩阵的特征值有着特定的影响。 1. 正交矩阵的特征值证明： 在证明正交矩阵的特征值为±1的过程中，我们利用了正交矩阵的定义，即矩阵与其转置的共轭相乘（即adj(A)A = A^T A = I），其中I是单位矩阵。设特征值λ对应的特征向量为α，则有Aα=λα。根据正交矩阵的性质，(Aα, Aα) = (λα, λα) = λ²(α, α)，而(α, α)因α非零向量而大于零，因此λ²=1，从而得出λ=±1。 2. 奇数维欧式空间中旋转的特征值： 在奇数维的欧式空间中，旋转变换的矩阵A满足A^T A = A A^T = I。通过计算E - A(E + A^T)，可以得到(E - A)(E - A^T) = 0，从而表明1是旋转矩阵的特征值。这是因为旋转不改变向量的长度，所以1是旋转的特征值。 3. 第二类正交变换的特征值： 第二类正交变换通常指的是反射，其矩阵形式为A = -I。通过类似的方法，我们可以计算-E - A = (-E)^T A + E A = 2E - A，这同样导致-E - A = 0，因此-1是反射矩阵的特征值。 4. 向量组线性无关与矩阵行列式的关系： 这部分证明了向量组(α1, α2, ..., αr)线性无关当且仅当由这些向量构成的矩阵Δ不为零。如果Δ=0，那么至少存在一行可以表示为其他行的线性组合，这与线性无关的定义矛盾。反之，如果向量组线性相关，那么通过逆向操作，可以推导出Δ的行向量线性相关，从而Δ=0。 5. 正交变换与向量组的关系： 证明了在欧式空间中，存在一个正交变换A使得A作用于一组向量(α1, α2, ..., αm)后，得到另一组向量(ψ1, ψ2, ..., ψm)，当且仅当这两组向量对所有i, j满足内积相等，即αi, αj = ψi, ψj。这个条件确保了变换前后向量组的“几何形状”保持不变，即正交变换保持了内积的性质。 以上内容深入探讨了正交矩阵的特性，包括其特征值的性质，以及正交变换如何影响向量组。这些理论在解决线性代数问题，尤其是涉及旋转和平移的几何问题时非常有用。