网络信息论第三章课后习题解析

"网络信息理论课程第三章课后习题解答" 在《网络信息理论》这一领域，第三章主要探讨了信息传输的基本概念和特性，包括无记忆性质以及特定信道如Z通道的信息传输能力。以下是针对题目内容的详细解释： 1. **无记忆性质**: 在给定的定义下，一个(2nR,n)码具有无记忆性质，意味着每个输出yi仅依赖于对应的输入xi，而不受之前输出yi-1或后续输入xn_i+1的影响。证明可以这样进行： 根据条件概率的链式规则，我们有： p(yn|xn,m) = \(\prod_{i=1}^{n} p(y_i|y_{i-1},x_i,xn_{i+1},m)\) 由于(2nR,n)码的定义，xn_i+1对其他随机变量独立，所以可以简化为： p(yn|xn,m) = \(\prod_{i=1}^{n} p(y_i|x_i,m)\) 再利用无记忆性质，即对于任意时刻i，输出yi只依赖于当前输入xi，不依赖于过去的状态yi-1，我们得到： p(yn|xn,m) = \(\prod_{i=1}^{n} p_Y|X(y_i|x_i)\) 2. **Z信道**: Z信道是一种二元输入、二元输出的信道，其条件概率为：p(0|0)=1，p(1|1)=p(0|1)=1/2。这意味着当输入为0时，输出总是0；而输入为1时，输出为0或1的概率各为1/2。要找到Z信道的容量C，我们需要最大化输入X的互信息I(X;Y)。 设X服从参数为α的伯努利分布，则I(X;Y) = H(Y) - H(Y|X)，其中H(Y)是Y的熵，H(Y|X)是给定X时Y的条件熵。 通过计算，我们可以发现I(X;Y) = H(α/2) - α。然后，我们对α求导以找到使I(X;Y)最大化的α值： \(\frac{d}{d\alpha} I(X;Y) = \frac{1}{2}\log\frac{1-\alpha/2}{\alpha/2} - 1\) 当这个导数等于0时，我们找到了最大化的α值，即α=2/5。将此值代入I(X;Y)的表达式中，我们得到Z信道的容量C为： C = H(1/5) - 2/5 = 0.3 总结起来，网络信息理论中的无记忆性质是描述信息传输过程中的一个重要特征，它简化了编码和解码的复杂性。而在Z信道这样的特定信道中，理解其容量有助于优化数据传输效率。这两个知识点都是信息论基础的核心部分，对于理解和设计高效通信系统至关重要。