计算非凸集上固定点定理的一般化

"这篇论文是徐庆、党创寅和道立朱合作的研究成果，首次发表，主题聚焦于非凸集上的一般化不动点定理的计算方法。" 正文： 固定点定理在数学、经济学以及其他多个领域具有重要的理论与实际应用价值。其中，布劳威尔（Brouwer）固定点定理是这些理论中的一个基础结果，它在多维空间中指出，如果一个连续函数将一个紧致凸集映射到其自身，那么这个函数必有一个固定点，即存在至少一点x使得f(x) = x。然而，在非凸集的情况下，这个问题变得更为复杂，因为不连续性和多模态特性可能导致无法直接应用传统的固定点理论。 本研究论文探讨了如何将Brouwer固定点定理推广到一类非凸集，并提出了一个全局收敛的同伦法（Homotopy method）来求解此类非凸集上的固定点问题。同伦法是一种逐步改变问题性质以引导解的迭代过程，通过设计适当的变化过程，可以引导迭代序列稳定地逼近固定点。在非凸集的环境中，这种方法有助于克服局部最小值和鞍点的问题，确保找到全局最优解或固定点。 作者们在论文中详细阐述了他们所提出的同伦算法的构建和收敛性分析。他们考虑了非凸集的几何特性，如边界条件、多模态函数以及可能存在的局部最小点。通过构造适当的同伦映射，他们确保了算法能够在迭代过程中避免陷入局部最小点，从而实现全局收敛。此外，他们还讨论了算法的实现细节和计算效率，这对于实际应用至关重要。 关键词：固定点；同伦方法；全局收敛；非凸集 该论文的贡献在于提供了一种新的方法来处理非凸优化问题，这在经济学分析、非线性规划、控制理论等领域具有广泛的应用前景。由于非凸集问题在现实世界中的普遍存在，例如在市场均衡、决策分析和工程设计等问题中，这项工作将为解决这些问题提供新的理论工具和技术支持。 这项研究扩展了固定点理论的边界，不仅在理论上有所创新，而且在解决实际问题时也具有实用价值。通过开发适用于非凸集的计算方法，研究人员和实践者现在拥有更强大的手段来处理那些传统方法难以解决的复杂问题。