双曲超几何对称下的多点共形块与测地线网络的半经典对应
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更新于2024-07-16
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本文主要探讨的是双曲平面上的多点经典共形块与测地线网络在阿贝尔-达斯（AdS）3空间中的半经典全息对应关系。在量子场论的背景下，特别是在二维CFT（二维 conforme field theory）中，n个点的经典共形块被研究，特别是当其中两个主要算子被视为其他(n-2)个算子的波动背景时。这种情况下，采用重光近似，即在边界系统中，两个主要算子的效应主导，其他算子作为较小的扰动。
作者分析了这些n点共形块如何在渐近AdS 3空间的边界上通过双曲线时间片进行描述，这是一种特殊的时空几何，其性质与普通欧几里得或球面时空不同。尽管缺乏精确的解，研究者依然发现了一个重要的结果：对于任意n值，经典的n点共形块长度与一个由n-3个立方顶点连接的对偶测地线网络的长度相等。这个网络由测地线构成，它们是宇宙空间中两点之间最短的路径，代表了量子引力中的信息传输。
为了建立这种对应关系，论文将共形块和测地线网络都转化为潜在的矢量场模型。在这个框架下，共形块的梯度和测地线长度分别与单峰问题的辅助参数以及壳上世界线动作中粒子的动量有关，这些参数作为插入点的函数。值得注意的是，尽管辅助参数和质点动量受到两个不同的代数方程组的约束，它们却共享相同的根，这确保了两者间的对应性成立。
文章还强调了这一发现对于理解量子引力和AdS/CFT对偶（AdS/CFT correspondence）的重要性，这是弦理论和量子引力理论中的一个关键概念，它主张在高维引力理论和低维量子场论之间存在一种深刻的对应关系。通过这样的对应，复杂的几何结构在低维理论中可以用更简单的共形块来描述，反之亦然。
这篇发表在JHEP12(2016)070上的Open Access论文深入研究了双曲平面上的经典共形块与测地线网络之间的关系，为理解量子引力中的信息传递提供了新的见解，同时也深化了我们对CFT和引力理论之间关系的理解。
JHEP12(2016)070
z
1
, ∆
1
z
2
, ∆
2
z
n−2
, ∆
n−2
······
z
n
, ∆
n
z
n−1
, ∆
n−1
˜
∆
1
˜
∆
n−3
˜
∆
n−2
······
Figure 2. The n-point conformal block. Two bold black lines are background heavy operators,
thin blu e lines rep r es ent primary and exchanged perturbative heavy operators which are discussed
in section 3.
Indeed, using the Liouville parameterization
2
we find that ∆
(1,2)
= −1/2−3b
2
/4, while
conformal dime nsi on s of exchanged operators are related by the fusion rule as
˜
∆
m+1
−
˜
∆
m
=
−b
2
/4 ± ibP
m
[
21]. Then, the monodromy matrix associated with γ
k
is given by
e
M(γ
k
) =
e
2πiM
+k
0
0 e
2πiM
−k
!
, M
±k
=
1
2
+
b
2
2
± ibP
k−1
. (2.2)
The classical con for mal blocks arise in the limit when the central charge and conformal
dimensions simultaneously tend to infinity. Both external and exchanged dimensions ∆
m
and
˜
∆
n
grow linearly with the charge c in such a way that ratios ǫ
m
= 6∆
m
/c and ˜ǫ
n
=
6
˜
∆
n
/c cal l ed classical dimensions remain fixed in c → ∞. Then, the quantum conformal
block i s represented as an e x ponential of the classical conformal block [
17]. Operators with
fixed classical dimensions are h eavy, while those with vanishing classical dimensions are
light.
In our case of the (n + 1) -point conformal block all operators ar e supposed to be
heavy while the degenerate operator is light, lim
b→0
∆
(1,2)
= 1/2. Thus, in t he semiclassi-
cal limit it decouples from the other operators, while adjacent exchanged dimensions get
equal lim
b→0
(
˜
∆
m
−
˜
∆
m+1
) = 0, see figure
1. The limi ti ng (n + 1)-point conformal block
factorizes as
F(y, z|∆
m
,
˜
∆
n
)
c→∞
→ ψ(y|z) exp
h
−
c
6
f(z|ǫ
i
, ˜ǫ
j
)
i
, (2.3)
where we denoted z = {z
1
, . . . , z
n
}, function ψ(y|z) describes the semiclassical contribution
of the degene r at e operator, while the exponential factor f(z|ǫ
i
, ˜ǫ
j
) is the n-point classical
conformal block which depends on external and exchanged classical conformal dimensi ons
ǫ
i
and ˜ǫ
j
[
17] (see also [4, 8, 17, 22, 26]). We note that (n + 1)-point conformal blocks
can be considered in different channels arisi ng from different ways to insert the degenerate
operator between other operators, see figure
1. Such an ordering singles out a particular
channel of the limi ti n g n-point block (
2.3), see figure 2.
Function ψ(y|z) satisfies the Fuchsian equation arising from the decoupli n g condition
d
2
dy
2
+ T (y|z)
ψ(y|z) = 0 , where T (y| z) =
n
X
i=1
ǫ
i
(y − z
i
)
2
+
n
X
i=1
c
i
y − z
i
. (2.4)
2
We change (∆, c) → (P, b) according to ∆(P ) =
c−1
24
+ P
2
and c = 1 + 6(b + b
−1
)
2
[
21]. The limit
c → ∞ can equivalently be described as b → 0.
– 5 –
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