MATLAB实现：雅克比与高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组

"该文档提供MATLAB实现的雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组的示例代码。" 本文主要介绍如何使用MATLAB来实现两种数值方法——雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，用于求解三元线性方程组： 1. 雅克比迭代法（Jacobi Iteration）： 雅克比迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法，适用于系数矩阵是对角占优的情况。其基本步骤如下： - 构造对角矩阵D，下三角矩阵L和上三角矩阵U，使得A=D-L-U。 - 计算迭代矩阵B=inv(D) * (D-A)。 - 初始化迭代向量x0，然后通过公式x1 = B * x0 + f（f=inv(D)*b）进行迭代，直至满足误差限条件（||x1-x0||_inf < eps）或达到最大迭代次数N。 示例代码中，首先检查对角元素是否全为零，然后输入误差限和最大迭代次数，计算相关矩阵，并进行迭代求解。在每次迭代后，比较新旧解的差异，若满足精度要求则输出结果，否则继续迭代。若超过最大迭代次数仍未满足精度，输出“迭代超限”。 2. 高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration）： 高斯-赛德尔迭代法是雅克比迭代法的一种改进，它在每次迭代时更新所有分量，而不是等到一轮迭代结束。这种方法通常收敛更快。 示例代码与雅克比迭代法类似，但更新迭代向量的方式不同。在高斯-赛德尔法中，每次迭代时，一旦计算出新的分量值，就立即更新对应的x00。迭代过程也是在满足误差限或达到最大迭代次数时停止。 两种方法的适用场景和优缺点： - 雅克比迭代法适用于系数矩阵是对角占优且各子块独立的系统，但当系统不满足对角占优条件时可能收敛较慢或不收敛。 - 高斯-赛德尔迭代法相比雅克比迭代法，由于每次迭代都用到了最新信息，因此通常收敛速度更快，但同样需要系数矩阵满足一定的条件才能确保收敛。 总结： 这篇MATLAB代码实例提供了实用的工具，帮助理解和应用雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。用户可以依据自己的问题调整代码，解决不同形式的线性方程组。需要注意的是，实际应用中需考虑矩阵性质和选择合适的迭代方法以确保有效和快速的收敛。