粒子滤波与MCMC：子空间跳跃的Markov链探索

在本文中，我们将深入探讨在两个子空间（如统计模型的参数空间Ω1和Ω2）之间跳跃的MCMC（Markov Chain Monte Carlo）算法。MCMC是一种强大的数值模拟方法，用于解决复杂的概率分布问题，特别适用于那些直接计算困难或不可能的高维概率分布的期望值计算。在MCMC中，关键的概念包括Markov性质，即随机过程只依赖于当前状态而不考虑过去的历史，这使得Markov链能够模拟复杂的动态过程。 首先，作者通过一个简单的例子来说明跳跃机制。在从子空间Ω1到Ω2的跳跃过程中，引入了一个与参数θ独立的随机变量u，这个随机变量的引入使得在满足一定条件下（比如满足Metropolis-Hastings接受拒绝准则），算法可以有效地探索这两个子空间。对于从Ω2到Ω1的跳跃，由于链的可逆性，其跳跃规则遵循类似的逻辑。 在离散状态的Markov链中，一步转移概率p(x, x')被定义为给定当前状态x时，转移到状态x'的概率，它是一个离散概率分布列。对于连续状态的Markov链，转移概率密度p(x, B)则是指从x转移到集合B的概率，它是x的函数，表现为连续概率密度函数。 在统计计算中，特别是当目标是计算某个函数f关于某个概率分布的期望值时，如期望值E[f(θ)]，MCMC方法变得尤为重要。它的实施通常包含以下步骤： 1. **构造Markov链**：设计一个马尔可夫链，确保其满足平稳性和正则性，即长期来看，链的状态分布会收敛到目标概率分布。 2. **初始化**：选择一个起始状态x0，通常是基于某种启发式或先验分布。 3. **循环**：在每次迭代中，根据转移概率或密度生成一个新的候选状态x'，并根据Metropolis-Hastings准则决定是否接受该状态，以确保全局性质。 4. **采样和融合**：重复上述步骤，生成一系列的状态样本。随着迭代次数增加，这些样本的分布逐渐接近目标分布，可用于估计期望值和其他统计特性。 5. **收敛检验**：通过检查样本之间的相似性或者计算链的混合程度，确认MCMC过程已经收敛到稳定的分布。 6. **结果分析**：使用采样的数据计算期望值或执行其他统计分析。 MCMC方法的优势在于能够在难以直接处理的复杂概率分布上进行有效的估计，尤其是在高维空间中。然而，它也需要注意潜在的陷阱，如局部最优、收敛速度和依赖于初始状态的问题。通过适当的调整和改进，如汉明顿(Hastings)接受拒绝准则的使用，以及利用各种MCMC变种（如Gibbs采样、Metropolis-adjusted Langevin算法等），可以在实际应用中克服这些问题，实现高效的模拟和估计。