同济四版线性代数习题解答与解析

"该资源是线性代数(同济第五版)的习题参考答案，由黄正华提供，他来自武汉大学数学与统计学院。文档中包含了多个章节的习题解答，如行列式、矩阵及其运算、线性方程组、向量组的线性相关性以及相似矩阵和二次型等内容。特别提到了第一章的某些习题，例如5.(2)、(5)和7题，鼓励读者分享好的解题方法。" 线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量、矩阵、线性变换等概念及其相互关系。在同济大学出版的线性代数教材第五版中，习题部分是巩固理论知识、提升解题能力的关键环节。黄正华提供的习题答案详细解答了这些问题，帮助学生深入理解概念。 首先，行列式是线性代数的基础，它是一个标量值，可以用来判断矩阵是否可逆，以及求解矩阵的秩和特征值。在第一章的习题中，给出了如何计算三阶行列式的例子。例如，对于一个三阶行列式，可以通过对角线法则来求解，即取每行（或每列）的元素相乘再相加，然后根据正负号规则进行加减运算。如示例中的(1)、(2)、(3)、(4)，分别展示了不同形式的行列式的计算过程。 矩阵及其运算是线性代数的核心内容，包括矩阵的加减、乘法、转置、逆矩阵和行列式等。在第二章中，习题可能涉及这些运算的性质和应用。例如，矩阵乘法不是交换的，但满足结合律和分配律，且存在单位矩阵使得任何矩阵与其相乘结果不变。 第三章讨论矩阵的初等变换与线性方程组，初等变换可以帮助我们简化矩阵，求解线性方程组。通过行变换，可以将系数矩阵转化为阶梯形或最简行阶梯形，从而快速找到解。 第四章向量组的线性相关性探讨了向量之间的关系，如线性独立和线性相关。如果一组向量的线性组合可以表示为零向量，那么这组向量就是线性相关的；反之，如果没有任何非零的线性组合等于零，则它们是线性独立的。 第五章的相似矩阵和二次型则涉及到矩阵的对角化和二次型的标准形。通过相似变换，可以将任意实对称矩阵化为对角矩阵，二次型也可以通过配方法化为规范形，便于理解和应用。 这份习题答案覆盖了线性代数的主要知识点，对于学习者来说，不仅可以检验自己的理解，还能通过对比不同解题方法来拓宽思路，加深对线性代数原理的理解。同时，鼓励学生参与到解题交流中，这种互动有助于提高问题解决能力和学术交流技巧。