双线性变换的MATLAB实现：多项式乘法应用于降序多项式计算

资源摘要信息:"双线性变换的多项式乘法：这种方法使用多项式乘法（实际上是卷积）来实现双线性变换，并通过Matlab进行开发。双线性变换是一种将s域（拉普拉斯变换域）的模拟滤波器设计转换到z域（数字滤波器设计）的技术。在这里，多项式的乘法被用来模拟这种变换，实际的计算过程等同于卷积操作。本文档详细介绍了在Matlab环境下，如何使用多项式乘法进行双线性变换的过程。" 知识点详细说明： 1. 双线性变换定义： 双线性变换是数字信号处理中用于将模拟滤波器设计转换为数字滤波器设计的一种常用方法。它通过将s域（拉普拉斯变换域）映射到z域（离散时间傅里叶变换域）来实现。这种映射是通过双线性关系s=(2/T)*(1-z^-1)/(1+z^-1)来完成的，其中T是采样周期。 2. 多项式乘法与卷积： 在双线性变换中，模拟滤波器的传递函数H(s)在s域中表示为多项式形式。在将模拟滤波器转换为数字滤波器的过程中，需要对H(s)中的多项式进行操作。多项式乘法实际上等同于卷积操作，这是因为多项式的乘积相当于在时域中将两个信号的波形进行叠加。在离散数学中，卷积是通过计算两个序列的点乘来完成的。 3. Matlab实现： Matlab作为一种广泛使用的数值计算和编程软件，提供了强大的工具箱来支持数字信号处理。Matlab中的多项式乘法可以通过内置函数或自定义函数来实现。本文档中提到的自定义函数mBilinear，利用了Matlab语言的特性，通过输入H(s)的分子多项式向量a和b，计算得到转换到z域后的分子多项式c和d。 4. 函数mBilinear的使用方法： 函数mBilinear的调用格式为[c,d] = mBilinear(a,b,Fs)，其中a和b是输入的多项式向量，Fs是采样频率。输出c和d分别代表了H(z)的分子多项式的降序排列。需要注意的是，向量a和b必须具有相同的长度，这是为了确保多项式乘法能够正确进行。 5. 函数参数说明： - a和b: 分别代表H(s)的分子多项式的降序排列向量。这些向量需要根据滤波器系数降序排列，即从高次项到常数项的顺序。 - c和d: 分别为转换到z域后的H(z)分子多项式向量，同样采用降序排列。 - Fs: 采样频率，是模拟到数字转换过程中非常重要的参数，它决定了采样周期T的大小。 6. 实例演示： 文档中给出了一个具体的实例，使用函数mBilinear([0 1 1],[1 0 1],1)计算得到了两个输出向量c和d。在这个例子中，输入的模拟滤波器的传递函数H(s)表示为(s+1)/(s^2+1)。经过双线性变换后，得到的数字滤波器的传递函数H(z)在z域中的表达式可以由输出向量c和d重建。 7. 注意事项： - 向量a和b必须具有相同的长度，以确保多项式乘法操作的正确性。 - 输出的多项式c和d的最高项系数被缩放为1，这与Matlab内置的双线性函数不同，后者默认保持模拟多项式的系数。 - 在实际应用中，用户可以根据需要调整采样频率Fs，以适应不同的信号处理需求。 通过上述内容，我们可以了解到在Matlab环境下，如何利用多项式乘法来实现模拟滤波器到数字滤波器的双线性变换，以及相关的函数调用和参数设置。这些知识点对于数字信号处理的学习和实践都是十分关键的。