学习有限元法 Finite Element Method 的教学教案及原理简介

有限元法 (Finite-Element Method) 是一种数值计算方法，起源于航空力学领域，最早由Courant提出。但是真正确定有限元法的学科和命名是由Clough在1960年给出的。冯康等我国著名学者也对有限元法做出了开创性贡献。在20世纪70年代开始，有限元法开始在电磁场和微波领域得到应用，逐渐成为电磁场数值分析的主要分支。有限元法简称FEM，具有扎实的理论基础，得到的结果是变分稳定的，也可以看做是广义Ritz方法。 有限元法是基于变分原理的一种数值计算方法。变分原理，又称极值原理，揭示了自然界的主要规律是按照极值原理运行的。这一思想使人们原先对方程的探索进一步发展成不等式。在静电场中，Thomson原理是最早提出的变分原理之一。 有限元法的核心思想是将一个复杂的连续系统分割成许多小的离散单元，然后在每个单元上求解微分方程，最终将所有单元的解汇总在一起得到整体系统的解。通过这种分割和离散化的方法，可以更好地模拟和分析复杂的物理现象，并得到系统的近似解。 使用有限元法进行数值计算时，首先需要对问题进行建模，将其转化为数学表达式和方程组。然后确定适当的离散单元和边界条件，利用数值方法求解这些方程。最后，需要对计算结果进行验证和后处理，确保结果的准确性和可靠性。 有限元法在工程学、物理学、地质学等领域广泛应用，如结构分析、流体力学、传热传质等问题都可以通过有限元法进行数值模拟和分析。有限元法具有较高的精度和可靠性，能够处理各种复杂的边界条件和非线性问题，是现代科学技术领域中不可或缺的重要工具之一。 总的来说，有限元法是一种基于变分原理的数值计算方法，可以有效地模拟和分析复杂系统的行为。通过将系统分割成小的离散单元并在每个单元上进行求解，有限元法能够提供系统的近似解，并在工程实践和科学研究中发挥着重要作用。以有限元法为代表的数值计算方法将继续在各个领域得到广泛应用，不断推动科学技术的发展和进步。