对称矩阵的β-性质：计算中的关键概念与应用

本文主要探讨了对称矩阵在数值计算中的重要特性——β-性质，该性质在1995年的数学研究与评论中被提出。作者殷庆祥针对对称矩阵A，定义了一种新的概念——β-性质，它描述了矩阵A的某些特殊行为。若对任意对角阵D（正定）和满足Ax=λDx的数λ以及单位向量x，矩阵A的范数IxTAxI与λ的比值保持在一个常数β下，即有IxTAxI≤β|λ|，则称矩阵A具有β-性质。 这个性质的重要性在于，它不仅保证了矩阵A的非奇异性，因为Rayleigh商能够取到A的所有特征值，而且提供了矩阵A在预处理（Scaling）时的理想选择。在对称矩阵的场合，由于我们期望新矩阵仍保持对称性，通常会选择对角矩阵Dl=Dz=D，使得 Scaling 过程中的新矩阵AIADz保持对称。 矩阵的β-性质与矩阵的条件数紧密相关，通过控制β，可以有效地减少计算过程中因舍入误差引起的误差放大。作者给出了对称矩阵具有β-性质的充分必要条件，这在数值代数和矩阵论的研究中具有实际应用价值。同时，文中还通过引理2阐述了即使非奇异对称矩阵可能不具备β-性质，但在特定情况下，可以通过构造适当的对角阵序列和向量序列，使得矩阵的行为接近于具有β-性质。 引理2的证明过程展示了如何构造出满足特定极限条件的序列，这对于理解矩阵β-性质的本质以及如何实际应用在数值计算中具有关键作用。这篇论文深入研究了对称矩阵的β-性质，为数值分析中矩阵规范化和误差控制提供了一个有力的理论支持。