数据结构与算法：树的习题解析

"这篇文档是关于数据结构中的树这一主题的上机作业，包含了多项选择题，涵盖了树的基本概念、完全二叉树、满二叉树的性质、二叉树的遍历序列以及线索二叉树的相关知识。" 在数据结构中，树是一种重要的抽象数据类型，它由节点（或称为结点）组成，每个节点可以有零个或多个子节点，这些子节点之间形成层次关系。题目中涉及了树的一些基本术语和特性： 1. 在树中，一个节点的“度”指的是它拥有的子节点数量。如果节点A有3个兄弟，那么它的父节点B的度是4（包括A和3个兄弟）。 2. 完全二叉树的性质：深度为h的完全二叉树至少有2^(h-1)个节点，至多有2^h - 1个节点。 3. 满二叉树的性质：具有n个节点的满二叉树有(n+1)/2个叶节点，即度为0的节点。 4. 具有25个叶节点的完全二叉树最多有50个节点，因为第26个节点将是第一个非叶节点，所以总节点数不超过50。 5. 二叉树的遍历序列：先根遍历是自根到叶子的顺序，中根遍历是按层次从中间向两边的顺序，后根遍历是先遍历子树再访问根节点。根据题目给出的先根和中根遍历序列，可以推断出后根遍历序列。 6. 二叉树的度数关系：对于有10个叶节点的二叉树，若每增加一个叶节点，就要增加一个度为2的节点，因此有9个度为2的节点。 7. 如果非空二叉树的先序遍历序列与后序遍历序列相反，说明所有的非叶节点都没有右子节点，因为先序遍历中根节点总是出现在子节点之前，而后序遍历中右子节点总是在左子节点之后，如果无右子节点，这两个序列会相反。 8. 线索二叉树是二叉树的一种特殊形式，它通过线索来指示中序遍历的前后继关系。没有左子树的节点，线索的ltag应为TRUE，并且left指针应为空。 9. n个节点的线索二叉树会有n+1条线索，包括每个节点的左线索和右线索。 10. 二叉树线索化后，每个节点确实可以有指向其前驱和后继的线索，但不是所有节点都有这样的线索，根节点没有前驱，叶子节点没有后继。 11. 在完全二叉树中，节点i(2i > n)的左孩子不存在，因为i的左孩子应是2i，而2i已经超出了节点总数n。 12. 完全二叉树的深度计算：64个节点的完全二叉树深度为7，因为2^6 = 64。 13. 编号规则：对于从上到下、从左到右编号的完全二叉树，编号为i的节点的右孩子编号是i+1，但如果i已经是最后一个节点，则没有右孩子。 14. 堆插入操作的时间复杂度通常是O(logn)，因为通常通过调整堆结构完成。 15. 两个二叉树等价意味着它们的结构和节点信息都相同，包括子树的结构。 16. 包含n个元素的堆的高度：堆的高度最小为「log2(n+1)」，其中「a」表示向上取整。 17. 二叉搜索树的平均查找时间复杂度为O(logn)，而平衡二叉搜索树如AVL树或红黑树能保证最坏情况下的查找时间也是O(logn)。 这些题目展示了对树结构深入理解的重要性，包括其定义、性质、遍历方法和优化策略。在实际编程和算法设计中，理解这些概念有助于解决各种问题，例如搜索、排序、存储数据等。