李文威《模形式初步》：解析理论与Hecke算子详解

《李文威-模形式初步-2018.11.23》是一本由李文威编著的数学教材，专为对模形式理论感兴趣但刚入门的学习者设计。这本书于2018年11月23日发布，提供了一个系统且深入浅出的介绍，涵盖了模形式的核心概念和关键应用。 该书分为六个章节，从基础定义开始，逐步展开。第1章介绍了复平面上的变换、圆盘模型以及线性分式变换的不动点，帮助读者建立起模形式的基本概念。接着，章节探讨了同余子群、尖点和基本区域的概念，这些都是理解模形式在数论中的关键组成部分。第1.5节介绍了整权模形式，而第1.6节则引入了Dirichlet区域，它是分析模形式性质的重要工具。 第二章通过实例来教学，如Γ函数和Riemann Μ函数，展示了模形式在经典分析中的应用。随后的章节讨论了Eisenstein级数，包括Γ=SL(2,ℤ)情况下的表现，以及特殊函数如E2, ς, Δ和j函数的联系。章节还涵盖了主同余子群Γ(𝑁)的Eisenstein级数，并概述了不同同余子群的Eisenstein级数的整体框架。 进入第三章，作者转向模曲线的解析理论，阐述了复结构、尖点添加、同余子群条件下的理论，以及Siegel定理和紧化的概念。此外，还穿插了关于可公度性、算术子群和四元数的间奏。这一部分的重点在于给出模形式的一般定义，并引入了Petersson内积，这是衡量模形式的重要工具。 第四章深入探讨维数公式及其应用，包括计算除子类、亏格公式，以及偶数和奇数权的维数公式。此外，书中还展示了维数公式在实际问题中的运用，并讨论了亚纯模形式的存在性。 第五章是Hecke算子的理论，从双陪集和卷积的概念出发，讲解了双陪集代数、与Hermite内积的关系，以及模形式与Hecke算子之间的联系。章节还提及了SL(2,ℤ)情形下的Hall代数，并引出特征形式的基础概念。 最后，第六章专门研究同余子群的Hecke算子，包括菱形算子、\( T_p \)算子、双陪集结构，以及一般\( T_n \)算子和特征形式。这部分内容深入讨论了旧形式与新形式的区别，以及Atkin–Lehner算子等重要概念。 《李文威-模形式初步-2018.11.23》是一本全面且实用的教程，不仅适合初学者系统学习模形式理论，也适合专业人士作为参考手册，深入了解这一领域的重要理论和技术。