有限阿贝尔群上的傅里叶分析——应用与数值谐波分析

"Fourier Analysis on Finite Abelian Groups by Bao Luong" 是一本关于有限阿贝尔群上的傅里叶分析的书籍，属于Applied and Numerical Harmonic Analysis (ANHA)系列，该系列专注于在工程、数学和科学领域展示谐波分析的最新进展，包括抽象的谐波分析和基础应用。该书强调理论与应用的交织，以及它们创造性共生演化的意义。 傅里叶分析是数学中的一个重要分支，它研究如何将信号分解为简单的正弦或余弦波的线性组合，然后再将这些波合成原始信号。在有限阿贝尔群上进行傅里叶分析，意味着我们不仅考虑连续的频率，还考虑离散的频率。阿贝尔群是一类满足交换律的群结构，例如整数集合在加法下构成的群。 在有限阿贝尔群上，傅里叶变换通常表现为离散傅里叶变换（DFT），在信号处理和通信等领域有广泛应用。Bao Luong的书可能涵盖了以下关键知识点： 1. **傅里叶变换的基础理论**：书中可能详细介绍了傅里叶变换的基本概念，包括连续傅里叶变换和离散傅里叶变换，以及它们的性质，如共轭对称性、解析延拓和卷积定理。 2. **阿贝尔群的结构**：对有限阿贝尔群的分类和构造，可能包括中国剩余定理，以及如何利用群的结构来理解和简化傅里叶分析。 3. **傅里叶分析的应用**：可能讨论了傅里叶分析在图像处理、数字信号处理、密码学、编码理论和概率论等领域的具体应用。 4. **数值方法**：由于是ANHA系列的一部分，书中很可能包含数值计算方法，如快速傅里叶变换（FFT），这是高效计算DFT的关键算法。 5. **群表示理论**：傅里叶分析与群表示理论紧密相关，可能会深入探讨有限阿贝尔群的字符表和群表示如何帮助理解傅里叶变换的行为。 6. **逆变换和解析性**：如何在有限阿贝尔群的背景下构造傅里叶逆变换，以及如何利用傅里叶变换的解析性质来解决问题。 7. **滤波器设计与信号恢复**：傅里叶分析在滤波器设计中的角色，以及如何利用傅里叶变换进行信号恢复和去噪。 8. **实际案例研究**：书中可能包含了实际问题的案例研究，展示了理论如何转化为解决现实世界问题的工具。 这本由Bao Luong撰写的书，结合了理论深度和实际应用，旨在为读者提供一个深入理解有限阿贝尔群上傅里叶分析的平台，对于数学家、工程师和科学家来说，都是一份宝贵的资源。