掌握线性系统的能控与能观测性：状态转换关键

"计算传递矩阵-能控性和能观测性" 是一个关于控制理论的重要概念，最初由Rudolf E. Kalman于1960年提出。在描述线性系统动态行为时，能控性和能观测性是关键的结构属性，它们决定了系统的输入-输出行为以及状态的可操纵性和可观测性。 能控性是指系统是否可以从给定的初态通过控制输入转移至任何期望的终态。对于状态空间模型来说，这意味着系统中的状态能否被外部输入完全控制，即使初始状态和输出都是线性关系于状态。例如，在提供的离散单输入系统中，状态变量的值受限于+1或-1的周期变化，无法达到所有可能的状态，因此该系统被定义为状态不完全可控，或者不可控。 状态能控性是通过系统的状态方程来判断的，不考虑输出。如果系统的状态方程决定了所有的状态变量都受到输入的影响，那么它就是状态可控的。而对于离散系统，具体分析通常包括单输入或多输入的情况，如给出的离散状态方程就是一个例子，其状态序列受到输入的直接影响，但某些状态变量的行为受到限制。 能观测性则是关于能否通过系统的输出推断出所有状态的信息。换句话说，系统是否能够通过测量得到的输出来确定它的完整状态。这涉及到输出方程，输出不仅依赖于状态，还可能受到噪声或其他因素的影响。如果系统的输出包含了所有状态的足够信息，那么它就是可观测的。 在研究能控性和能观测性时，系统矩阵和输入矩阵起着决定性作用。如果系统矩阵和输入矩阵满足特定条件，比如行秩等于系统的状态维数，那么系统就具有状态能控性。同样，如果输出矩阵的列秩等于状态维数，那么系统则具有状态能观测性。 总结来说，计算传递矩阵并分析能控性和能观测性是理解线性控制系统稳定性和性能的关键步骤，对于设计和控制工程实践至关重要。通过系统矩阵和输入/输出关系的深入分析，工程师可以评估系统的可控性和可观测性，以便优化控制策略和确保系统的正确运行。"