不精确拟牛顿法的收敛性分析

"一类不精确拟牛顿法及其收敛性 (2000年) - 大庆石油学院学报" 本文主要探讨了一种不精确拟牛顿法，这是一种在经典拟牛顿法基础上发展起来的优化算法。经典拟牛顿法是解决无约束最优化问题的有效方法，它通过迭代过程寻找函数的最小值。在这个过程中，算法利用目标函数的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）的逆来近似搜索方向，并通过线性搜索确定步长。然而，计算Hessian矩阵的逆可能在某些情况下非常复杂或不可行，因此不精确拟牛顿法提出了一种更灵活的策略。 在不精确拟牛顿法中，迭代公式略有不同，它允许Hessian矩阵的逆近似不完全满足传统的拟牛顿条件。具体来说，第k次迭代的新位置Xk+1由式(3)给出，其中Hk是Hessian矩阵逆的近似，Kk是校正项，而lk是残量，满足一定的精度条件（式(4)）。这个条件意味着残量与梯度变化的比值有一个上界，这个上界由tk控制，tk是表示不精确度的序列。当tk趋近于0时，不精确拟牛顿法就恢复为经典的拟牛顿法。 文章的重点在于证明了这种不精确拟牛顿法在一定条件下的收敛性。作者通过引理1展示了目标函数的二阶导数在局部的变化可以被限制，这为分析算法的收敛性奠定了基础。接下来，作者可能会进一步讨论如何在实际应用中选择合适的残量条件tk，以及如何确保算法的线性收敛性和超线性收敛性。 线性收敛性意味着随着迭代次数的增加，解的误差将以常数比例减少，而超线性收敛性则表示误差的减小速度更快，通常是以迭代次数的某个负指数减少。这两个性质都是优化算法的重要指标，它们保证了算法在有限步数内能够找到接近最优解的解。 不精确拟牛顿法提供了一种在计算成本和精度之间取得平衡的途径，尤其适用于大型优化问题，其中完全精确的Hessian矩阵求逆是不可行的。通过适当的残量控制和理论上的收敛性保证，这种方法可以在实践中有效地应用于各种科学和工程问题。