Matlab实现牛顿迭代法解非线性方程组详解

在MATLAB中实现牛顿迭代法求解非线性方程组是一种数值方法，用于逼近非线性系统中的零点。本文主要介绍了如何利用MATLAB的符号计算工具和函数来解决给定的三个非线性方程： 1. 首先，定义了一个名为`fun.m`的函数，它包含了非线性方程组： - 第一个方程是 \( 3x_1 - \cos(x_2x_3) - \frac{1}{2} = 0 \) - 第二个方程是 \( x_1^2 - 81(x_2 + 0.1)^2 + \sin(x_3) + 1.06 = 0 \) - 第三个方程是 \( e^{-x_1x_2} + 20x_3 + \frac{10\pi - 3}{3} = 0 \) 2. `fun.m`函数的目的是返回整个方程组的矢量形式，即 \( f = [f_1, f_2, f_3] \)。 3. 接着，创建了`dfun.m`函数，用于计算函数的雅克比矩阵（Jacobian matrix），即每个方程对变量的导数。雅克比矩阵表示为一个3x3矩阵，其中每一行对应一个方程对每个自变量的偏导数。 4. 在`newton.m`函数中，我们实现了牛顿迭代法的核心算法。输入参数包括初始猜测值`x0`、所需的精度`eps`（0.00001）和最大迭代次数`N`。该函数通过循环进行迭代，每次迭代更新`x`的值，直到满足精度要求或者达到最大迭代次数。迭代过程中，`norm(x-x0)`用于判断当前解与上一次迭代的差是否小于指定精度。 5. 每次迭代后，`x`的当前值会被记录下来，并写入名为`iteration.txt`的文本文件中，记录迭代过程，便于后续分析。 这个MATLAB脚本通过符号计算和数值优化，实现了非线性方程组的牛顿迭代求解，为解决实际问题提供了有效的工具。用户可以根据需要调整初始猜测值和精度要求，以适应不同情况下的求解需求。这种方法对于求解复杂的多变量非线性问题具有很高的实用价值。