动态规划求解数字三角形的最大和

"该资源是一篇关于动态规划基础讲解的文章，通过解决‘数字三角形’问题来阐述动态规划的概念和应用。文章提供了问题描述、解题思路和C语言的参考程序，旨在帮助学习者理解如何利用动态规划求解最大路径和问题。" 在动态规划领域，数字三角形问题是一个经典的示例，它要求找到从数字三角形顶部到底部的路径，使得路径上的数字和最大。这个问题可以通过自顶向下或自底向上的方法用动态规划来解决。 1. **问题描述**： - 输入数据包含一个整数N（1 < N <= 100），表示三角形的行数，接下来的N行分别给出数字三角形的每一行。所有数字都在0到100之间。 - 输出要求是找到从顶部到底部的最大路径和。 2. **解题思路**： - 动态规划的核心在于将大问题分解为小问题并存储子问题的解，以避免重复计算。 - 定义D(r, j)为到达第r行第j列的最优路径和，MaxSum(r, j)表示从第r行第j列到三角形底部的最优路径和。 - 使用递归方式，当到达最后一行时，MaxSum(r, j)等于D(r, j)本身，因为没有更多的可选路径。 - 对于非最后一行，MaxSum(r, j)需要考虑两种情况：走D(r+1, j)或D(r+1, j+1)，取两者中的较大值加当前的D(r, j)。 3. **参考程序I**： - 提供了一个基于C语言的解决方案，包括一个名为`MaxSum`的递归函数，用于计算从给定位置到三角形底部的最优路径和。 - `main`函数负责读取输入数据，填充D数组，并调用`MaxSum`函数求解最大路径和。 - 在`MaxSum`函数中，计算相邻两行的MaxSum值，选取较大值加上当前D值，以确定最优路径。 通过这个例子，我们可以看到动态规划如何通过构建状态转移方程（MaxSum(r, j) = max(MaxSum(r+1, j), MaxSum(r+1, j+1)) + D(r, j)）和使用记忆化技术（在这里是递归）来有效地解决问题。这种方法避免了对同一子问题的多次计算，提高了算法效率。在实际编程中，通常会使用自底向上的迭代方法来实现，因为递归可能会导致大量的重复计算，尤其是在较大的N值下。