基于迭代法的泊松方程求解—— Jacobi、GS与SOR迭代比较

“数值代数课程设计，主要探讨了利用Jacobi迭代、Gauss-Seidel（GS）迭代以及Successive Over-Relaxation (SOR) 迭代方法解决一维和二维泊松方程的问题。作者通过MATLAB编程实现并对比分析了这三种迭代方法在速度和精度上的差异。” 在数值代数领域，求解大型线性系统是常见的挑战，特别是在大数据时代，处理大规模方程组的需求日益增长。泊松方程是一种偏微分方程，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域，通常形式为：∇²u = f，其中u是未知函数，f是源项，∇²是拉普拉斯算子。 本课程设计中，作者朱林昊采用三种迭代方法——Jacobi迭代、GS迭代和SOR迭代，来求解一维和二维泊松方程。这些迭代方法都是求解线性系统的数值方法，它们基于将大矩阵分解为更小的部分并逐次更新解的策略。 1. Jacobi迭代法：是最简单的迭代方法，每次迭代仅使用上一轮解的对角线元素进行更新，但收敛速度较慢。 2. Gauss-Seidel (GS) 迭代法：在Jacobi迭代的基础上，每次迭代使用当前轮解的所有元素，而非上一轮的，这通常会导致更快的收敛。 3. Successive Over-Relaxation (SOR) 迭代法：是GS迭代的优化版本，引入了一个松弛因子ω。通过调整ω，可以在保持或提高收敛速度的同时，改善解的精度。当ω=1时，SOR迭代退化为GS迭代。 通过MATLAB实现，作者比较了三种方法在求解一维和二维泊松方程时的性能。结果表明，SOR迭代在速度上表现最优，GS迭代其次，而Jacobi迭代最慢。同时，作者还研究了松弛因子ω对SOR迭代速度的影响，发现在ω值介于1.2和1.6之间时，SOR迭代的速度达到最快。 关键词：Jacobi迭代、GS迭代、SOR迭代、泊松方程、MATLAB 这项工作不仅展示了数值方法在解决实际问题中的应用，也提供了对迭代方法性能评估的实例，有助于深化理解迭代法在处理大规模线性系统中的优势和局限性，为今后的优化和选择合适的求解策略提供了参考。