计算几何基础：线段、多边形与圆的算法解析

"这篇文档涵盖了计算几何中的常见算法，包括直线拐点判断、线段相交判断等。" 计算几何是一门涉及解决几何问题的算法的学科，它在图形学、机器人技术、集成电路设计和统计等多个领域有广泛应用。这篇文档旨在提供计算几何的基本概念和常用算法，帮助读者理解和运用这些知识。 1. **矢量概念**： 矢量是有方向的线段，可以表示为起点和终点的有序对。当矢量的起点位于坐标原点时，我们通常将其表示为终点的坐标，如矢量P=(x1, y1)。 2. **矢量运算**： - **矢量加法**：两个矢量P和Q相加，得到新的矢量P+Q，其坐标等于各自对应坐标的和。 - **矢量减法**：矢量P减去Q，得到矢量P-Q，坐标等于P的坐标减去Q的坐标。 - **矢量叉积**：矢量P和Q的叉积表示它们构成的平行四边形的面积，结果是一个标量，计算公式为P×Q=x1*y2-x2*y1。叉积具有反交换性，即P×Q=-Q×P。 3. **几何判断**： - **拐点判断**：通过矢量叉积可以判断一个折线段的拐向，如果相邻线段的叉积符号相反，则说明存在拐点。 - **线段相交判断**：通过比较线段端点的相对位置，可以判断两线段是否相交。 - **点在线段上判断**：计算点到线段两端点的向量与线段方向矢量的叉积，如果两个叉积符号相同且点在线段长度范围内，则点在线段上。 - **矩形包含判断**：判断点、线段、折线、多边形是否在矩形内，主要通过坐标比较实现。 4. **圆和多边形的判断**： - **圆在矩形内判断**：比较圆心坐标与矩形边界的关系，以及半径与矩形边距。 - **点在多边形内判断**：使用射线法，从点出发射出一条射线，统计与多边形边的交点数，奇数则点在内，偶数则点在外。 - **多边形包含判断**：判断多边形是否包含其他多边形，需要考虑边与边、顶点与边的关系。 5. **最近距离和交点计算**： - **最近点计算**：找到点到线段、折线、矩形、多边形的最近距离，可以通过构建方程组求解。 - **交点计算**：求线段、直线与线段、折线、矩形、多边形、圆的交点，涉及到线性代数和几何变换。 6. **凸包问题**： - **凸包概念**：一个几何对象的凸包是最小的凸集，该集合包含所有几何对象的点。 - **凸包求法**：可以使用格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)过程、 Jarvis March 或 Graham Scan 算法求解二维平面内的凸包。 这些算法是计算几何的基础，理解并熟练掌握它们对于解决实际问题至关重要。无论是图形渲染、碰撞检测还是路径规划，这些知识都能发挥关键作用。