完全二叉树构造方法计数

"11082完全二叉树的种类" 完全二叉树是一种特殊的二叉树结构，其中每一层（除了可能的最后一层）都是完全填满的，并且所有的结点都尽可能地集中在左边。在给定的问题中，我们需要计算具有n个叶结点的完全二叉树的不同构造方式，条件是不允许改变这些结点的相对顺序，也不允许交换左右儿子。 题目描述提到的递推算法是解决这个问题的关键。递推关系由Catalan数提供，这是一种在数学和计算机科学中广泛应用的序列。对于n个叶结点的完全二叉树，其构造方法数可以用以下递推公式表示： \[ Total(n) = \sum_{i=1}^{n-1} Total(i) \times Total(n-i) \] 当n等于1或2时，总构造方法数分别为1（只有一个结点的树）和1（一个根结点和一个叶结点的树）。对于n等于3的情况，有2种不同的构造方式，即左子树有一个叶结点，右子树有两个叶结点，或者反过来。 为了有效地计算这个递推序列，可以采用动态规划的方法，也称为备忘录法。这种方法需要预先存储已经计算过的较小规模问题的结果，避免重复计算，从而提高效率。在这个问题中，我们可以创建一个数组a，用于存储从a[1]到a[n]的Catalan数，从最小的n值开始逐步计算更大的n值。 给出的代码片段使用了递推算法来计算这个问题。变量`tmp`用于临时存储中间结果，数组`a`用于存储已经计算过的Catalan数。从n=4开始，程序遍历每一个i值，计算并累加对应的Total(i)和Total(n-i)的乘积，最后将结果存入a[n]。 需要注意的是，递推计算过程中，对于每个i值，我们都需要确保已经计算过所有小于i的Catalan数。这样，整个算法的时间复杂度是O(n^2)，因为每个n值的计算都涉及到n-1次乘法和加法操作。 总结来说，解决这个问题的关键在于理解和应用Catalan数的递推关系，以及通过动态规划优化计算过程，避免重复计算。通过这种方法，我们可以高效地求解具有特定叶结点数量的完全二叉树的不同构造方式。