Hefferon线性代数第三版：从向量空间到矩阵运算

《线性代数》第三版是Jim Hefferon撰写的一本经典的数学教材，专为美国本科教育设计。该书覆盖了线性代数的基础和核心概念，共分五章，分别为： 1. **线性系统 (Linear Systems)**: 这一章节介绍了线性方程组的概念，包括如何表示和解这些方程，以及它们在实际问题中的应用，如经济学模型、物理学中的力平衡等。 2. **向量空间 (Vector Spaces)**: 该部分涵盖了向量的基本定义，如向量的加法、标量乘法、零向量和单位向量等。同时，还会介绍向量空间的性质，如封闭性和加法结合律等。 3. **空间之间的映射 (Maps Between Spaces)**: 这里涉及线性映射或线性变换，即保持向量空间结构不变的函数，如矩阵与向量的乘法。还包括了同构（isomorphism）的概念，即两个向量空间之间存在一一对应且保持向量空间性质的映射。 4. **行列式 (Determinants)**: 行列式是矩阵的重要特征，用于计算特定线性变换的某些性质，如矩阵的可逆性、线性系统的解的存在性以及特征值问题。学习这部分有助于理解线性代数在图形变换和线性系统稳定性分析中的作用。 5. **相似性 (Similarity)**: 通过讨论矩阵的相似性，学生可以深入理解矩阵变换的本质，以及对角化和Jordan标准形等概念，这些都是研究线性系统稳定性和特征值的重要工具。 书中使用的符号和术语如\( R, R_+, R^n \)代表实数集、正实数集和n维向量空间，\( N, C \)分别表示自然数集和复数集。矩阵的元素用\( h_{ij} \)表示，向量空间\( V, W, U \)，向量记作\( \vec{v}, \vec{0}_V \)，多项式的空间\( P_n, M_n \)，线性映射\( h, g \)，以及变换\( t, s \)都有详尽的定义和操作规则。 在向量空间的基和坐标表示方面，\( \langle B, D \rangle \)表示一组基，\( \vec{\beta}, \vec{\delta} \)为基向量，\( \mathbb{E}_n = \langle \vec{e}_1, ..., \vec{e}_n \rangle \)是\( R^n \)的标准基。此外，还讨论了空间的子空间直和\( M \oplus N \)，以及零矩阵\( Z_n \times_m 0 \)和单位矩阵\( I_n \)的概念。 矩阵的特征和秩也是重要内容，如\( |T| \)表示矩阵的行列式，\( R(h), N(h) \)分别表示线性映射\( h \)的范围空间和核空间。而\( R_\infty(h), N_\infty(h) \)则涉及到泛函分析中的广义范围空间和核空间。 希腊字母如\( \alpha, \beta, \gamma, \delta, \pi \)在本书中也有相应的发音指南，这对于国际化的读者理解内容非常有帮助。书中还包含了诸如特征值、特征向量等高级概念，这些都是理解线性代数理论和应用的关键。 《线性代数》第三版提供了系统且深入的线性代数基础知识，不仅适合本科学生学习，也适合那些希望深化理解这个领域的人士参考。