信息理论与编码习题解析：熵、自信息、信道容量

"这是关于信息理论与编码的一系列习题及解答，主要涵盖了信源熵、自信息量、条件熵、互信息量、信道容量、输入输出概率分布等相关概念。" 在信息理论中，信源熵是衡量一个离散无记忆信源（DMS）不确定性的重要指标。例如，在问题2.6中，信源熵被计算为0.54 bit/symbol，这意味着每个信源符号平均携带了0.54比特的信息。而自信息量则用于计算特定事件发生时的信息量，如信源发出特定序列时的信息量。在同个问题中，计算得到的序列自信息量为+19 bit/seq，这表示整个序列的信息量，如果序列长度趋于无穷大，平均每个符号的信息量应接近于信源熵。 信源熵的极值性指的是，对于离散信源，熵的最大值发生在所有符号出现概率相等的情况下。在问题2.7中，由于给定的信源概率分布不满足概率的完备性，即所有概率之和不为1，因此计算得到的熵不满足极值性。 条件熵H(X|Y)描述了在已知随机变量Y的条件下，随机变量X的不确定性。在问题2.11中，通过计算不同变量的熵和条件熵，展示了如何通过概率的乘积和加法来确定这些量。同时，互信息I(X;Y)衡量了X和Y之间的相关性，它是H(X)和H(X|Y)的差，表示在知道Y的情况下，X的不确定性减少了多少。 信道容量是指在给定的信道条件下，能够无错误传输的最大信息速率。在问题3.8中，针对对称离散信道，通过信道矩阵可以计算出信道容量，并确定最佳输入概率分布为等概率分布。对于二元对称信道（问题3.17），输入输出概率分布、信道输入熵、输出熵、损失熵、噪声熵以及平均互信息都被计算出来，进一步求得了信道容量和最佳输入分布。 信道剩余度是信道容量与实际传输信息速率之间的差异，它反映了信道未被充分利用的程度。在问题3.17中，除了计算信道的相关熵和信息量，还求出了信道剩余度。 这些习题涵盖了信息理论的基础概念，包括熵的计算、条件熵的理解、互信息的作用以及信道容量的求解，这些都是理解和应用信息理论的关键。通过解决这些问题，学习者可以深入理解信息理论中的核心概念，并能应用于实际通信系统的设计和分析。