数学与计算机科学：互素判断、CFG解析与逻辑公式验证

"CHAP7new.doc" 本章节涵盖了多个计算机科学和理论计算的议题，主要涉及数学、形式语言和计算复杂性理论。 首先，我们关注7.3a部分，这里介绍了一个判断两个整数是否互素（即最大公约数为1）的方法。表格展示了一种操作过程，该过程通过模运算（XmodY）和乘法（X(Y）来检查X和Y的关系。当Y递减至0时，如果X等于1，则表明X和Y互素。例如，X=1274，Y=10505，经过一系列运算后，最后Y变为0，X仍为1，因此可以确定1274和10505是互素的。 接着，7.4部分涉及到上下文无关文法（Context-Free Grammar, CFG）。问题要求应用定理8.14的算法填充识别上下文无关语言的表格。给定的CFG如下： S -> RT R -> TR | a T -> RT | b 这里，我们需要构造一个推导树以验证字符串w=baba是否能被这个文法生成。定理8.14的算法通常涉及构造一个派生表或进行类似的操作来分析字符串是否符合文法规则。然而，由于没有具体的填充指导，无法直接完成表的填写。 7.5部分讨论了逻辑可满足性问题。给定的公式是一个量词嵌套的布尔表达式，需要判断是否存在一种赋值方式使得公式成立。通过穷举x和y的所有可能真值组合，可以发现无论怎样赋值，公式始终为假。这表明原公式是不可满足的，即没有一组变量取值能使公式的结果为真。 最后，7.6节探讨了计算复杂性类P的封闭性质。P是包含可以在多项式时间内解决的问题集合。题目要求证明P在并、连接和补运算下是封闭的。这意味着，如果L1和L2是可以在多项式时间内判定的语言，那么它们的并集L1∪L2，连接L1·L2（串接操作），以及补L1'也可以在多项式时间内判定。证明通常涉及构造一个图灵机M，它能在多项式时间内对这些操作的结果进行有效判定。 这部分内容展示了计算理论中的关键概念，包括互素性测试、上下文无关文法的理解、逻辑推理以及计算复杂性理论的基础。每一个主题都是理论计算机科学学习的重要组成部分，对于深入理解计算的界限和可能性至关重要。