高斯过程回归在MATLAB中的应用与协方差函数分析

高斯过程是一种概率分布，可以无限延伸，允许我们进行平滑的函数推断。在处理回归问题时，高斯过程提供了一个框架，可以对输入空间中的任意点进行预测，并给出预测值的不确定度估计。 本文档主要介绍的高斯过程回归在MATLAB环境中的开发和实现，以及几种不同的协方差函数的使用。在MATLAB环境下，通过编写特定的脚本（gp.m.zip）来实现高斯过程回归算法，脚本中定义了多个函数，用于执行高斯过程回归和预测。 高斯过程回归的核心是协方差函数（或称核函数），用于描述输入空间中任意两个点之间的相似度。协方差函数的选择对于高斯过程回归模型的性能至关重要。文档中列出了几种不同的协方差函数： 1. 母 3/2：这是一种平滑度较低的协方差函数，适用于一些需要较大尺度变化的数据。 2. 母 5/2：相对于母 3/2，母 5/2具有更高的平滑度，适合更为平滑的数据变化。 3. 神经网络：这种协方差函数借鉴了神经网络的思想，可以捕捉数据中的非线性特征。 4. 定期：适合周期性数据，它利用周期性质来衡量不同位置点之间的相似度。 5. 平方指数：这是高斯过程中最常用的协方差函数之一，提供了一种平滑且快速衰减的相似度度量。 6. Matern + 平方指数：Matern函数族是一类灵活的协方差函数，可以模拟各种平滑性。将其与平方指数结合，可以调整模型的平滑度和灵活性。 7. Matern 3/2 + 神经网络：这种组合的协方差函数结合了Matern函数的平滑特性与神经网络协方差函数的非线性特性。 高斯过程回归模型通常需要一些超参数的设置，这些超参数可以通过最大化模型的边际似然来确定。在本脚本中，高斯过程回归的先验知识包括： - U：表示先验知识的均值函数，可以是零均值或任何其他用户定义的均值函数。 - F：表示观测值，即已知的训练数据输出。 - COV：表示协方差函数，可以选择上述提到的不同类型的协方差函数。 - X：表示评估变量，即需要进行预测的输入变量。 - O_cov：表示所选协方差函数的超参数。 - Oy：表示噪声因子，用于调整观测数据中的噪声水平。 通过调整这些超参数，用户可以对高斯过程回归模型的行为进行控制，并对数据进行更精确的预测。"