非线性拟变分不等式及其在椭圆型边值问题中的应用

"该资源是一篇1997年的自然科学论文，主要探讨了一类非线性拟变分不等式的问题，利用伪单调算子理论进行研究，并将其应用于拟线性椭圆型边值问题的解决。" 文章深入研究了变分不等式的领域，特别是非线性拟变分不等式，这是一个在数学和应用科学中广泛存在的问题。变分不等式理论在过去的几十年里得到了极大的发展，其核心在于利用函数的单调性来探究解的存在性和唯一性。这类问题与能量泛函的凸性紧密相连，因此在物理、工程、经济学等多个领域都有重要的应用。 作者刘振海首先介绍了研究背景，指出变分不等式的解的存在性通常基于单调方法。然后，他提出了一个新的研究对象，即一类非线性拟变分不等式，形式为： \( \langle Ax, y - x \rangle + \langle Gx, y - x \rangle > \gamma, \quad \forall y \in M \) 其中，\( X \) 是一个可分自反Banach空间，\( M \) 是 \( X \) 中的非空闭凸子集，\( A \) 和 \( G \) 是从 \( M \) 到 \( X \) 的算子。这里的 \( \langle \cdot, \cdot \rangle \) 表示对偶积，\( \gamma \) 是一个常数。作者的目标是找到满足特定条件的 \( x \in M \)。 为了处理这个问题，论文假设 \( A \) 是Banach空间的非线性单调算子，而 \( G \) 的条件较之前的研究更为宽松。论文进一步列出了五个关键假设，这些假设确保了算子的次连续性、强单调性、增长条件以及其他相关性质。通过伪单调算子理论，作者不仅证明了非线性拟变分不等式解的存在性，还可能讨论了解的唯一性。 最后，论文展示了如何将这些理论成果应用于拟线性椭圆型偏微分方程的边值问题。这类问题在数学物理中尤为常见，例如在描述热传导、弹性力学等领域的问题。作者的方法为解决这类复杂问题提供了一种新的工具和视角。 这篇论文的贡献在于它拓宽了变分不等式理论的应用范围，特别是在处理非线性和更一般的算子条件时，以及将理论与实际问题相结合，如椭圆型偏微分方程的边值问题。它对于进一步理解变分不等式及其在实际问题中的应用具有重要的理论价值。