Andrew Pressley的《初等微分几何》(2001)概览
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更新于2024-07-17
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"SUMS23 Elementary Differential Geometry, Andrew Pressley (2001) .pdf"
《Elementary Differential Geometry》是数学家Andrew Pressley撰写的一本关于微分几何的入门教材,出版于2001年。这本书主要针对大学本科或研究生阶段的学生,旨在介绍微分几何的基础概念和理论。微分几何是数学的一个重要分支,它将分析、代数和几何相结合,研究光滑曲面和其他几何结构。
在该书中,Pressley教授可能会涵盖以下核心知识点:
1. 曲线理论:包括参数曲线、弧长、曲线的挠率和曲率,以及曲线在三维空间中的表示。这些概念是理解曲面性质的基础。
2. 曲面理论:探讨二维流形(如曲面)在欧几里得空间中的嵌入,如第一基本形式、第二基本形式,以及曲面的外微分形式。这涉及到曲面的度量和联络。
3. 格拉斯曼代数与外微分:介绍向量场、标量场和张量场的概念,以及外微分如何提供了一种处理这些对象的统一方法。
4. Riemannian几何:讲解黎曼度量,包括测地线、曲率张量和高斯-博内公式,这些都是理解局部和全局几何性质的关键。
5. 欧拉示性数和拓扑:解释曲面的拓扑不变量,如欧拉示性数,它是区分不同拓扑类型曲面的重要工具。
6. 庞加莱猜想的简介:可能简要提及庞加莱猜想,这是一个著名的拓扑问题,后来由格雷戈里·佩雷尔曼证明,与三维流形的几何紧密相关。
7. 实际应用:书中的例子可能涉及物理学、工程学和其他科学领域的实际问题,如交通工程、流体动力学等,展示微分几何在解决实际问题中的作用。
此外,书中的插图和例子有助于读者更好地理解抽象概念。例如,引用了来自数学期刊的文章,如"Tree Rings of the Northern Shawangunk!"中的图2,可能用来解释几何在自然现象中的应用。还有其他文章,如"Traffic Engineering with Cellular Automata",可能展示了微分几何在交通工程中的应用。
通过阅读《Elementary Differential Geometry》,学生可以建立对微分几何的坚实基础,为进一步深入研究高级几何和相关数学领域做好准备。同时,书中的练习题和例子将帮助他们巩固理论知识并提升问题解决能力。
2019-05-29 上传
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