Andrew Pressley的《初等微分几何》(2001)概览

"SUMS23 Elementary Differential Geometry, Andrew Pressley (2001) .pdf" 《Elementary Differential Geometry》是数学家Andrew Pressley撰写的一本关于微分几何的入门教材，出版于2001年。这本书主要针对大学本科或研究生阶段的学生，旨在介绍微分几何的基础概念和理论。微分几何是数学的一个重要分支，它将分析、代数和几何相结合，研究光滑曲面和其他几何结构。 在该书中，Pressley教授可能会涵盖以下核心知识点： 1. 曲线理论：包括参数曲线、弧长、曲线的挠率和曲率，以及曲线在三维空间中的表示。这些概念是理解曲面性质的基础。 2. 曲面理论：探讨二维流形（如曲面）在欧几里得空间中的嵌入，如第一基本形式、第二基本形式，以及曲面的外微分形式。这涉及到曲面的度量和联络。 3. 格拉斯曼代数与外微分：介绍向量场、标量场和张量场的概念，以及外微分如何提供了一种处理这些对象的统一方法。 4. Riemannian几何：讲解黎曼度量，包括测地线、曲率张量和高斯-博内公式，这些都是理解局部和全局几何性质的关键。 5. 欧拉示性数和拓扑：解释曲面的拓扑不变量，如欧拉示性数，它是区分不同拓扑类型曲面的重要工具。 6. 庞加莱猜想的简介：可能简要提及庞加莱猜想，这是一个著名的拓扑问题，后来由格雷戈里·佩雷尔曼证明，与三维流形的几何紧密相关。 7. 实际应用：书中的例子可能涉及物理学、工程学和其他科学领域的实际问题，如交通工程、流体动力学等，展示微分几何在解决实际问题中的作用。 此外，书中的插图和例子有助于读者更好地理解抽象概念。例如，引用了来自数学期刊的文章，如"Tree Rings of the Northern Shawangunk!"中的图2，可能用来解释几何在自然现象中的应用。还有其他文章，如"Traffic Engineering with Cellular Automata"，可能展示了微分几何在交通工程中的应用。 通过阅读《Elementary Differential Geometry》，学生可以建立对微分几何的坚实基础，为进一步深入研究高级几何和相关数学领域做好准备。同时，书中的练习题和例子将帮助他们巩固理论知识并提升问题解决能力。