Dijkstra算法详解：单源最短路径

"本文介绍了Dijkstra算法，一种用于计算图中单源最短路径的经典算法。Dijkstra算法从起始节点开始，逐步扩展至其他所有节点，直至到达目标节点，确保找到的路径是最优的。然而，由于算法需要遍历大量节点，其效率相对较低，不适用于含有负权重的边的图。算法的复杂度分析显示，其时间复杂度为O(n^2)，而空间复杂度取决于图的存储方式，如邻接矩阵则为O(n^2)。文章还提供了C++语言的算法实现示例，并描述了输入输出格式。" Dijkstra算法是一种解决图论中最短路径问题的方法，由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻在1956年提出。这个算法适用于带非负权重的图，旨在找到从一个特定起点到所有其他节点的最短路径。算法的核心思想是通过不断更新节点的最短路径信息，逐步逼近目标。 算法描述如下： 1. 初始化：设定一个起始节点，比如节点1，设置一个集合S，包含除起始节点外的所有其他节点。将起始节点的最短路径值设为0，其他节点的最短路径值设为无穷大（表示尚未发现路径）或相应的边权重（如果存在边）。 2. 在集合S中，选取具有最小最短路径值的节点j，将其移出集合S。如果集合S为空，算法结束；否则，进入下一步。 3. 遍历集合S中的所有节点i，检查是否存在从节点j到i的边。如果有，更新节点i的最短路径值为d(i)=min(d(i), d(j)+Wj->i)，其中Wj->i表示边j到i的权重。 这个过程会持续进行，直到所有节点都被移出集合S，此时所有节点的最短路径都已找到。 C++实现Dijkstra算法时，可以使用优先队列（如二叉堆）来优化寻找最小最短路径值的过程，从而提高效率。以下是一个简化的代码框架： ```cpp #include <queue> // 定义图结构 struct Graph { int n; vector<vector<int>> adjMatrix; }; // Dijkstra算法实现 void dijkstra(const Graph& graph, int startNode) { priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq; vector<int> dist(graph.n, INT_MAX); dist[startNode] = 0; pq.push({0, startNode}); while (!pq.empty()) { int currentNode = pq.top().second; pq.pop(); // 更新相邻节点的最短路径 for (int neighbor : graph.adjMatrix[currentNode]) { if (dist[neighbor] > dist[currentNode] + graph.adjMatrix[currentNode][neighbor]) { dist[neighbor] = dist[currentNode] + graph.adjMatrix[currentNode][neighbor]; pq.push({dist[neighbor], neighbor}); } } } // 输出最短路径 for (int i = 1; i < graph.n; ++i) { cout << dist[i] << " "; } } ``` 在这个例子中，`Graph`结构用于存储图的邻接矩阵，`dijkstra`函数实现了Dijkstra算法。`priority_queue`用于存储节点及其最短路径值，每次弹出路径值最小的节点进行处理。输出部分展示了从起始节点到其他所有节点的最短路径长度。 Dijkstra算法是图论中的重要工具，广泛应用于路由选择、网络优化等问题，但要注意其对于负权重边的局限性。在实际应用中，可能需要结合其他算法，如Bellman-Ford算法，来处理包含负权重的情况。