卡尔曼滤波：动态系统观测的最小二乘预测与新息过程

卡尔曼滤波算法是一种在统计信号处理中广泛使用的数学工具，用于估计动态系统的状态和处理含有随机噪声的测量数据。它主要应用于诸如导航、控制系统、通信和机器学习等领域。以下是关于新息过程及其在卡尔曼滤波中的关键概念： 1. 新息过程： 新息过程是卡尔曼滤波的核心概念，它是指在已知先前观测值的基础上，对当前观测值所带来的新的、未知的信息部分。在一步预测问题中，给定观测序列y(1), ..., y(n-1)，新息过程的目标是通过这些观测数据来估计y(n)。新息定义为： \[ y(n) = \hat{y}(n|n-1) + N_1 \] 其中，\( \hat{y}(n|n-1) \) 是在时间步n对观测值的预测，而 \( N_1 \) 是观测数据的新的、未被先前信息完全解释的部分，即新息。 2. 过程方程： 卡尔曼滤波问题涉及两个基本方程：状态方程和观测方程。状态方程描述了系统状态在时间上的变化，用矩阵F和过程噪声v1(n)表示： \[ x(n) = F(n)x(n-1) + v1(n) \] 观测方程则给出了观测值与系统状态的关系，用矩阵C和观测噪声v2(n)表示： \[ y(n) = C(n)x(n) + v2(n) \] 3. 噪声假设： 算法假设过程噪声v1(n)和观测噪声v2(n)是零均值的白噪声，即它们的均值为零，且自相关函数只依赖于时间间隔，不随时间变化。此外，噪声向量之间独立，包括初始状态噪声与后续噪声。 4. 状态估计： 卡尔曼滤波的关键步骤包括预测（基于前一时刻的状态估计）和更新（结合当前观测值修正预测）。新息过程的性质指出，新息不仅包含了未被观测到的状态信息，而且反映了观测数据带来的更新程度。 5. 新息性质： 新息具有几个关键性质，如线性和统计独立性。它表明新息与预测值和先前观测值独立，这对于构建滤波器的递归形式至关重要。新息的处理使得滤波器能够在不断接收到新的观测数据时，逐步逼近最优状态估计。 总结来说，新息过程是卡尔曼滤波算法的核心组成部分，通过理解并利用这一概念，我们可以有效地处理动态系统中的状态估计问题，尤其是在存在噪声和不确定性的情况下。