离散数学复习：命题与谓词逻辑详解

离散数学是计算机科学的基础课程，它涉及到许多概念和理论，尤其在逻辑推理和形式证明方面扮演着核心角色。在离散简答题集合中，我们可以看到一系列关于命题逻辑和谓词逻辑的重要问题。 首先，命题逻辑公式是逻辑表达式的基本构建块。一个命题逻辑公式是由命题变元、联结词（如与、或、非）以及括号组成的符号串。例如，公式（﹁P∨Q）∧R包含了非、或和与操作，其中P、Q和R是命题变元。如果一个公式在所有可能的解释下都为假，那么它被称为恒假的命题逻辑公式，如﹁（P∧Q）∧R，这意味着P和Q不能同时为真。 命题逻辑的解释是对命题变量赋予真值的过程。例如，如果公式G=（P∧Q）→R，那么解释I可以是P=真，Q=真，R=假，这使得G为假。解释I可以表示为一个真值表，对于每个变量记录其真值。 主析取范式（Minterm Normal Form, MNF）是命题逻辑公式的一种特殊形式，其中每个合取项（AND连接的子句）都是所有命题变元的极小项，即每个变元只出现一次，并且至少有一个变元为假。同样，主合取范式（Maxterm Normal Form, MNF）是析取形式，其中每个析取项（OR连接的子句）是所有命题变元的极大项，意味着每个变元至少出现一次，并且至少有一个变元为真。 析取范式和合取范式是逻辑公式的一般形式，前者是若干简单合取式（AND子句）的析取（OR），后者是若干简单析取式（OR子句）的合取（AND）。例如，P∨Q∨R既是析取范式也是合取范式，因为它只包含一个合取项和一个析取项。 谓词逻辑公式比命题逻辑更复杂，它可以包含量词（全称量词∀和存在量词∃）和变量，用于描述更为抽象的关系和属性。例如，(x(C(x) → G(x))表示“所有计算机系的学生都要学离散数学”，其中C(x)表示“x是计算机系的学生”，G(x)表示“x要学离散数学”。 谓词逻辑公式的解释则需要为每个变量和量词指定一个域，以及对变量在该域上的函数和关系的解释。解释可以确保逻辑公式在特定上下文中的意义是明确的。 这些离散数学的概念是理解和解决逻辑问题的关键，对于计算机科学中的算法分析、形式验证和知识表示等领域的研究至关重要。通过深入学习和理解这些概念，学生将能够更好地处理复杂的数据结构、程序设计和理论证明。