"复旦大学通信科学与工程系刘鹏教授线性代数答疑11及可逆方阵证明"

线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间和线性变换的性质和结构。它在各个领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学和计算机科学等。本文讨论了一个线性代数中的问题，即证明某些方阵的可逆性，并求其逆矩阵。 首先，给定一个方阵A，已知对于某个正整数k成立AAkk=O，我们要证明A可逆，并求其逆矩阵。 证明的思路是通过级数展开，利用级数的性质来求解。 首先，我们引入单位阵I，定义为其对角线上的元素全为1，其他元素全为0。根据题意，我们有AAkk=O，即A的第k列和第k行的乘积等于0。 接着，我们对A进行展开，将每一项写成级数的形式。展开后，我们得到：A的第一列和第一行的乘积加上A的第二列和第二行的乘积加上...加上A的第k列和第k行的乘积等于0。 我们再次观察题目中给定的条件，可以发现A的每一列乘以其对应的第k行得到的矩阵都是幂零阵。幂零阵是指其所有的幂都是零矩阵。 根据幂零阵的性质，我们知道幂零阵的行列式等于0。因此，我们可以得出结论，A的每一列乘以其对应的第k行的矩阵的行列式都等于0。 接着，我们再次观察题目给定的条件，即AAkk=O。根据矩阵的乘法定义，我们知道A乘以A的第k列等于零矩阵。 由于零矩阵的行列式等于0，我们可以得到一个推论，即A乘以A的第k列的矩阵的行列式等于0。 综合以上的推论，我们可以得出结论，A的每一列乘以其对应的第k行的矩阵的行列式等于0，并且A乘以A的第k列的矩阵的行列式也等于0。 由于A的每一列乘以其对应的第k行的矩阵的行列式等于0，并且A乘以A的第k列的矩阵的行列式也等于0，我们可以推断出A的任意子矩阵的行列式都等于0。 根据行列式的性质，我们知道如果一个方阵的任意子矩阵的行列式都等于0，那么这个方阵的行列式也等于0。 所以，我们可以得出结论，A的行列式等于0，即A不可逆。 综上所述，我们经过推导证明，如果给定的方阵A满足AAkk=O，那么A不可逆。