图论基础与算法解析

"该资源是关于图与图论算法的PPT讲解，涵盖了图的基本概念、存储方式以及遍历、欧拉路径、最短路径算法等内容。" 在图论中，图是由点集（顶点）和边集组成的数学结构，用于表示对象之间的关系。图可以是有向的或无向的，有向图的边有方向，而无向图的边没有方向。完全图是一种特殊的无向图，其中任意两个不同的顶点之间都有一条边连接。路径是顶点和边的序列，其中相邻边的端点相接；简单路径则是不包含重复顶点的路径。环是首尾相连的路径，简单环则要求环上的顶点不重复。自环是一条端点相同的边，而重边是指两条或多条连接相同顶点对的边。 图的子图是由原图中一部分顶点和这些顶点间的一些边组成的图。如果在图中任意两个顶点间都存在路径，则称该图为联通图。顶点的度是指与该顶点相连的边的数量，分为入度（有向图中以该顶点为终点的边数）和出度（有向图中以该顶点为起点的边数）。 在图的存储方面，邻接矩阵是一个二维数组，用于表示图中顶点之间的连接关系，其中f[i][j]表示从顶点i到顶点j的边的权重。邻接表是一种更节省空间的存储方式，每个顶点对应一个链表，存储与其相邻的顶点。此外，还有链式前向星等变体。 图的遍历包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。DFS常用于寻找欧拉路径或回路，它从度数为奇数的顶点开始，避免走重复的边，最后倒序输出路径。BFS则常用于寻找最短路径，因为它能保证在树形结构中找到最近的邻居。 欧拉路径和欧拉回路是图中特殊的路径类型，前者经过所有边恰好一次，后者是起点与终点相同的欧拉路径。无向图中，若所有顶点的度数都是偶数，则存在欧拉回路；有向图中，若每个顶点的入度等于出度，则存在欧拉回路。对于欧拉路径，无向图中可以有两个奇数度的顶点，有向图中则需满足特定的入度与出度关系。 最短路径问题是图论中的核心问题，最短路径是连接两个顶点的所有路径中边权和最小的路径。单源最短路问题是从一个顶点出发到图中所有其他顶点的最短路径，而多源最短路问题则涉及任意两点间的最短路径。Floyd算法用于解决多源最短路问题，通过枚举中间点逐步更新最短路径。Dijkstra算法则是解决单源最短路问题的常用算法，它通过维护一个黑白顶点集合，每次选取距离源点最近的白顶点并更新其邻居的最短距离。