单调迭代法证明Monge-Ampère方程与系统的正径向大解存在

本文探讨的是Monge-Ampère型方程和方程组的整体径向正大解的存在性问题，由作者张志军和刘含雪在烟台大学数学与信息科学学院合作完成。他们主要使用了单调迭代方法和Arzela-Ascoli定理，这是一种经典的方法论在偏微分方程研究中的应用，尤其在寻找非线性方程的解集中具有重要意义。 Monge-Ampère方程是一种二阶偏微分方程，其核心是Hessian矩阵的行列式，即detD2u，它在几何学和流体力学等领域有广泛应用。文中提到的方程是： \[ \text{det} D^2 u(x) + p(|x|)|\nabla u|^{N} = \alpha \Delta u + a(|x|) f(u) + \alpha N |x|^{N-1} p(|x|)|\nabla u|, \quad x \in \mathbb{R}^N \] 其中，$\Delta$ 是经典的拉普拉斯算子，$N \geq 2$，$p(|x|)$ 是一个连续函数，$f(u)$ 是一个涉及未知函数u的非线性项，而$\alpha$ 是一个常数。该方程反映了变量u在不同空间位置上的曲率和梯度的关系。 同时，文章还考虑了相关的方程组，包含了两个函数u和v的交互作用： \[ \begin{cases} \text{det} D^2 u(x) + p(|x|)|\nabla u|^{N} = \alpha \Delta u + a(|x|) f(v) + \alpha N |x|^{N-1} p(|x|)|\nabla u|, \quad x \in \mathbb{R}^N \\ \text{det} D^2 v(x) + q(|x|)|\nabla v|^{N} = \beta \Delta v + b(|x|) g(u) + \beta N |x|^{N-1} q(|x|)|\nabla v|, \quad x \in \mathbb{R}^N \end{cases} \] 这里，$q(|x|)$ 和 $b(|x|)$ 分别对应于v函数的类似条件，而$g(u)$ 表示u对v的影响。方程组的解需满足特定的正性和径向性，即解随距离x的增加保持非负且在径向方向上增长。 研究的关键在于找到在满足一定条件（如$f$和$f+g$）下的整体径向大解，即在所有实数空间中，解不仅在某个区域成立，而且在整个空间上保持正且径向增长。通过巧妙的估计和迭代方法，作者证明了这样的解确实存在，这是一项重要的理论贡献，对于理解这类非线性偏微分方程的行为以及相关物理或工程问题具有潜在的实际意义。