EM算法详解：高斯混合与HMM参数估计指南

本教程深入探讨了期望-最大化(EM)算法的基本原理及其在实际问题中的应用。EM算法是一种迭代优化方法，特别适用于那些包含隐变量的复杂概率模型参数估计。它最初由 Dempster、 Laird 和 Rubin 在1977年提出，针对的是极大似然估计中的局部优化问题，当直接求解变得困难时，通过引入隐变量来简化计算。 在理论层面，EM算法的核心思想是将难以直接处理的复杂模型分解成易于管理的部分，即明确参数（visible parameters）和隐藏参数（hidden parameters）。每一步迭代包括两个阶段：期望（Expectation）阶段和最大化（Maximization）阶段。在期望阶段，通过计算当前参数下隐变量的后验分布，我们获得对这些隐藏变量的估计；在最大化阶段，我们利用这些估计来更新明确参数，使得整个模型的似然函数最大化。 在实践中，EM算法的应用非常广泛，这里我们将重点介绍两个主要领域： 1. 混合高斯分布估计：当数据集由多个未知分布的混合构成时，EM算法能够估计出各个成分的均值、协方差以及混合比例。例如，在聚类分析或信号处理中，若数据点可能来自不同的正态分布，EM可以帮助我们估计出这些分布的参数，使得数据点最有可能被分配到相应的组。 2. 隐马尔可夫模型（HMM）参数估计：HMM是一种常用的时间序列建模工具，尤其在自然语言处理（NLP）和生物信息学中有重要应用。EM算法在此场景下的应用即著名的Baum-Welch算法，用于估计HMM的状态转移概率矩阵和发射概率矩阵，即使观测数据是由不可见状态产生的。对于离散观测，算法计算每个状态的后验概率；而对于连续观测（如Gaussian mixture），则涉及到高斯分布参数的更新。 EM算法以其强大的适应性和通用性，在统计学习和机器学习中扮演着核心角色。理解并掌握这个算法，不仅能帮助我们解决各种复杂的参数估计问题，还能为进一步研究和实践提供有力的工具。在深入理解其原理和应用场景的同时，熟练运用EM算法将显著提升我们在数据挖掘、模式识别和预测模型构建等方面的实践能力。