数值分析第五版课后习题详解与误差分析

"该资源是《数值分析》第五版，由李庆扬、王能超、易大义主编的课后习题答案详解，包含了详细的解题过程，旨在帮助学习者理解和掌握数值分析中的概念与方法。" 在数值分析的学习中，理解并应用误差分析是至关重要的。题目中的第一章主要涉及了误差的计算和有效数字的概念。 1. 误差的计算涉及到相对误差的定义。相对误差是两个数之差除以真实值，它衡量了近似值相对于真实值的精度。例如，在第一题中，通过相对误差计算出具体误差的大小。 2. 条件数是衡量函数对输入值变化敏感程度的指标，它在第二题中出现，用于分析函数的稳定性。当函数的条件数较大时，输入的小变化可能导致输出的大变化。 3. 有效数字的确定是数值表示的关键。第四题列举了几种近似数的有效数字位数，例如，一个数如果经过四舍五入，其误差限不超过最后一位的半个单位，那么有效数字的计算就包括这一位。 4. 误差限的计算是数值计算中的基础技能。第五题通过公式计算了给定条件下的误差限，这对于评估计算结果的精度非常有用。 5. 函数的条件数在第六题中再次出现，这次是为了确定计算球体积时允许的半径测量误差。通过计算体积函数的条件数，可以得知相对误差限。 6. 数值序列的误差积累在第七题中得以体现。递推公式[pic] (n=1,2,...) 的计算过程中，随着n的增加，误差会不断累积。通过计算误差限，可以估计最终结果的精度。 7. 解方程的精度要求在第八题中被讨论。为了获得至少4位有效数字的根，需要精确求解方程，并确保解的精度满足要求。 8. 当N足够大时，求特定函数的极限是数值分析中的常见问题。第九题提供了求解[pic]的方法，这通常需要用到级数展开或极限定理。 9. 在第十题中，实际问题被引入，如何测量正方形边长以保证面积误差不超过特定值。这涉及到函数的微小变化如何影响输出的计算。 这些习题覆盖了数值分析的基础知识点，包括误差分析、有效数字、条件数、误差限计算、序列误差积累、方程求解精度以及实际问题中的数值计算应用。通过解决这些问题，学生可以加深对数值分析理论和实践的理解。