de Sitter空间中的量子纠缠：轴离子贝尔对与邦奇-戴维斯真空分析
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更新于2024-07-16
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"Entangled de Sitter from stringy axionic Bell pair I: an analysis using Bunch–Davies vacuum"
这篇论文深入探讨了量子纠缠在de Sitter (dS) 宇宙背景下的行为，特别是在弦理论框架下。作者Sayantan Choudhury和Sudhakar Panda等人通过研究卡拉比-尤三重折叠（CY3）上的IIB型弦理论，特别是轴离子作用下的二分量子场论，揭示了量子纠缠的一些关键特性。
在de Sitter空间中，量子纠缠是一个重要的概念，因为它涉及到宇宙学和量子信息理论的交叉领域。de Sitter空间是一种膨胀的宇宙模型，其中包含了一个类时的四维超曲面，其特点是存在一个全局的时间坐标。在这种背景下，量子纠缠的研究可以帮助我们理解早期宇宙的物理过程以及信息的处理方式。
论文中，研究人员考虑了球面S2如何将dS4空间切分成两个子区域，外部和内部。这种分割允许他们研究不同区域之间的量子纠缠，这是理解宇宙学熵和信息丢失问题的关键。真空状态的选择至关重要，因为这会影响量子场的动力学。在这里，他们选择了邦奇-戴维斯（Bunch-Davies）真空，这是一种在de Sitter空间中常用的、与无限远处过去的行为相对应的真空态。
轴离子在弦理论中起着核心作用，它是由IIB型弦理论中的特定模式产生的。这些轴离子可以产生量子纠缠，形成所谓的轴离子贝尔对，这些对可以被看作是高度纠缠的量子态。在de Sitter空间中，这种纠缠可能对宇宙的初始条件和随后的演化有深远的影响。
通过对轴离子贝尔对的纠缠熵进行计算，研究人员能够量化不同区域之间的信息关联程度。纠缠熵是衡量系统中纯态被分割后子系统之间丧失的信息的量，是量子信息理论中的一个重要指标。这项工作对于理解宇宙学背景下的量子纠缠性质，以及可能存在的宇宙学信息处理机制具有重要意义。
这篇论文通过利用弦理论中的轴离子和邦奇-戴维斯真空，为de Sitter空间中的量子纠缠提供了新的洞察，这对于理解早期宇宙的物理特性和信息理论在广义相对论中的应用有着深远的理论价值。
Eur. Phys. J. C (2018) 78 :52 Page 7 of 36 52
Additionally, the Laplacian operator
ˆ
L
2
H
3
in hyperbolic slice
H
3
can be written as [90]:
ˆ
L
2
H
3
=
1
sinh
2
r
∂
r
sinh
2
r ∂
r
+
1
sin θ
∂
θ
(
sin θ∂
θ
)
+
1
sin
2
θ
∂
2
, (3.21)
which satisfies the following eigenvalue equation:
ˆ
L
2
H
3
Y
plm
(r,θ,) =−(1 + p
2
)Y
plm
(r,θ,). (3.22)
Here Y
plm
(r,θ,)are the eigenfunctions of
ˆ
L
2
H
3
, which can
be written using method of separation of variable here one
can decompose Y
plm
(r,θ,)into a radial and angular part
as
Y
plm
(r,θ,) =
(
ip +l + 1
)
(
ip + 1
)
p
√
sinh r
P
−
l+
1
2
ip−
1
2
×
(
cosh r
)
Y
lm
(θ, ), (3.23)
where Y
lm
(θ, ) is the spherical harmonic function and
P
−
l+
1
2
ip−
1
2
(
cosh r
)
represents associated Legendre polyno-
mial.
The full solution of the equations of motions for the Case I
and Case II can be expressed in the following forms:
φ(t, r,θ,) =
a
U
(t, r,θ,)+ a
†
U
∗
(t, r,θ,)
,
(3.24)
where U
(t, r,θ,) forms a complete basis of mode func-
tion labelled by index which is fixed by the three quantum
numbers p, l and m and an index σ =±for R and L hyper-
boloid in the present context.
It is important to note that equation of motions for the
Case I and Case II are inhomogeneous differential equa-
tions with constant source and for this the total solutions of
these equations can be expressed as
U
(t, r,θ,) = U
σ plm
(t, r,θ,)
=
1
a(t)
χ
p,σ
(t)Y
plm
(r,θ,)
=
H
sinh t
χ
p,σ
(t)Y
plm
(r,θ,), (3.25)
where the time dependent part of the wave function χ
p,σ
(t)
forms a complete set of positive frequency function which
can be written as a sum of complementary part (χ
(c)
p,σ
(t)) and
particular integral part (χ
( p)
p,σ
(t)):
χ
p,σ
(t) = χ
(c)
p,σ
(t) + χ
( p)
p,σ
(t). (3.26)
Here our prime objective is to explicitly compute both of
the contributions and use them further in the computation of
entanglement entropy.
Furthermore, one can write down the following equation
of motion for the complementary part of the time dependent
contribution in the total solution:
D
t
χ
(c)
p,σ
(t) = 0, (3.27)
where D
t
is the differential operator in the present context,
which can be expressed for the above-mentioned two cases
as:
D
t
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
∂
2
t
+ 3 coth t ∂
t
+
(1+p
2
)
sinh
2
t
for Case I
∂
2
t
+ 3 coth t ∂
t
+
(1+p
2
)
sinh
2
t
+
m
2
axion
H
2
for Case II.
(3.28)
The final solution for the complementary time dependent part
for Case I and Case II are given by
Case I :
χ
(c)
p,σ
(t) =
⎧
⎨
⎩
1
2sinhπ p
(
e
π p
+σ
)
(2+ip)
P
ip
1
(cosh t
R
) −
(
e
−π p
+σ
)
(2−ip)
P
−ip
1
(cosh t
R
)
for R
σ
2sinhπ p
(
e
π p
+σ
)
(2+ip)
P
ip
1
(cosh t
L
) −
(
e
−π p
+σ
)
(2−ip)
P
−ip
1
(cosh t
L
)
for L.
(3.29)
Case II :
χ
(c)
p,σ
(t) =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
1
2sinhπ p
e
π p
−iσ e
−iπν
ν+
1
2
+ip
P
ip
ν−
1
2
(cosh t
R
) −
e
−π p
−iσ e
−iπν
ν+
1
2
−ip
P
−ip
ν−
1
2
(cosh t
R
)
for R
σ
2sinhπ p
e
π p
−iσ e
−iπν
ν+
1
2
+ip
P
ip
ν−
1
2
(cosh t
L
) −
e
−π p
−iσ e
−iπν
ν+
1
2
−ip
P
−ip
ν−
1
2
(cosh t
L
)
for L,
(3.30)
where in Case II we introduce a parameter ν, which is defined
for axion as
ν =
9
4
−
m
2
axion
H
2
=
9
4
−
μ
3
b
f
a
H
2
=
9
4
−
4
G
f
2
a
H
2
.
(3.31)
From the above solutions obtained for Case I and Case II
we observe the following characteristic features:
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