扩展KMP算法：求最长公共前缀与重复子串

"扩展KMP算法的讲解及应用，包括最长公共前缀长度的求解和寻找重复子串的方法。" 扩展KMP算法是一种在字符串处理中用于查找子串出现位置的优化算法，它在经典KMP算法的基础上进行了扩展，以解决更复杂的问题。在经典KMP中，算法的核心是构建一个next数组，它表示当前子串中每个字符开始的位置到子串末尾的最长公共前后缀的长度。在扩展KMP中，next数组的概念被进一步利用，以解决更广泛的应用。 1. **求解最长公共前缀长度** 使用next数组可以高效地计算字符串S和其自身的一个子串T的最长公共前缀长度。例如，如果已知next[i]表示T[i..m]与T的最长公共前缀长度，那么对于字符串S的某个位置i，extend[i]就可以通过比较S[i]和T[next[i]]来快速计算，无需从头开始比较。 2. **寻找重复子串** 在寻找字符串S中的重复子串时，扩展KMP算法也能派上用场。如果存在一个位置i使得extend[i]等于子串T的长度m，那么T就是S的一个子串，而且起始于位置i。若考虑不完整的循环节，即即使最后一个循环节不完整，只要满足条件i + extend[i]，也可以识别出重复子串。例如，字符串"abababccc"中，"ababab"就是一个重复子串，而"ababa"也是一个不完整的重复子串。 3. **算法描述** 假设extend[1..k]已计算完成，且在之前的匹配过程中达到的最远位置是p。现在，算法将基于两种情况进行下一步的计算： - 第一种情况：如果S[p+1]等于T[next[p]+1]，则extend[k+1]可以直接设置为extend[p]+1。 - 第二种情况：如果S[p+1]不等于T[next[p]+1]，则需要回溯并从S[p+1]和T[1]开始重新比较，直到找到匹配的字符或者T的末尾。 这个过程会持续进行，直到计算完所有extend[i]。由于算法避免了重复比较，时间复杂度为O(n+m)，线性效率。 4. **计算next[]数组** next数组的计算通常使用动态规划。从T的第二个字符开始，通过比较T[i]和T[j]（j = next[i-1]）来更新next[i]的值。如果T[i]等于T[j]，则next[i] = j + 1；否则，需要回溯到T的下一个公共前后缀位置，即next[i] = next[next[i-1]]，直到找到匹配或回溯到T的起始位置。 扩展KMP算法的应用广泛，尤其在字符串搜索、模式匹配以及文本处理等场景中有很高的实用价值。理解并熟练掌握这种算法，对于解决相关问题非常有帮助。