线性代数解析：Spring Boot与Shiro+JWT的前端分离实践

"这篇资源主要讨论的是如何在Spring Boot应用中结合Shiro和JWT实现前后端分离，并且深入探讨了线性代数的一些核心概念，包括线性组合、张成空间、基、线性变换、复合变换、行列式、非方阵以及点积和对偶性的可解释性。" 线性代数是现代数学的基础之一，它在计算机科学和信息技术中扮演着至关重要的角色。在本文中，我们聚焦于几个关键概念： 1. **线性组合、张成空间和基**：线性组合是指将一组向量与标量相乘后再相加。这些向量的线性组合可以张成一个空间，即所有可能的线性组合形成的集合。如果一组向量可以张成整个空间，并且它们线性无关，那么这组向量就构成了空间的基。基是描述空间的最小元素集合，任何向量都可以表示为基向量的线性组合。 2. **线性变换**：线性变换是保持向量加法和标量乘法性质的映射，它将直线映射为直线，且原点保持不变。在线性代数中，矩阵可以表示一个线性变换，通过矩阵乘法可以计算出变换后的向量。 3. **复合变换**：复合变换是两个或多个线性变换的组合，其顺序不可随意改变。例如，在二维空间中，先旋转后平移与先平移后旋转会得到不同的结果。同样地，三维空间的复合变换也有类似的原则。 4. **行列式**：行列式是用于描述方阵性质的标量值。在二维空间中，行列式的值可以告诉我们变换是否拉伸或压缩，而在三维空间中，行列式可以反映变换是否保持体积不变。 5. **非方阵**：非方阵（矩形矩阵）没有行列式，但它们在几何上仍具有意义，例如在描述非均匀拉伸或剪切等变换时。 6. **点积和对偶性**：点积是向量间的一种运算，它与向量的方向和长度有关，且与运算顺序无关。点积可以用来计算投影，将高维空间的向量映射到一维空间。对偶性是线性代数中的重要概念，它建立了向量与函数之间的联系，使得向量运算可以通过函数运算来描述。 文章通过可视化的方法帮助理解这些抽象概念，特别是通过引用3Blue1Brown的《线性代数的本质》系列视频，提供了一种更直观的学习方式。理解和掌握这些线性代数知识对于理解Spring Boot、Shiro和JWT的整合以及处理复杂的系统设计问题非常有益。