矩阵模型中字符保留性的求和规则与特征值分析
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更新于2024-07-16
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本文主要探讨了特征值矩阵模型中的一项重要特性，即字符平均值的保持性，这可以看作是高斯指数傅立叶变换原理在矩阵模型领域的广泛应用和扩展。文章特别关注了标准的Hermitian（复共轭对称）和unitary（单位ary，三角）矩阵模型，以及它们的变形，包括经典的和量子的变种。这些模型的特征在于，它们的partition function（分母函数，即在统计物理中用于计算系统的概率分布的函数）具有明确的公式，这对于实际的计算机计算极其便利。
然而，理论上的处理则面临挑战，即如何在给定大小的表示下管理和约束这些有限的和，这成为一个富有概念性的难题。大N极限（在统计力学中，当矩阵尺寸N趋向于无穷大时，一些特定行为会变得明显，如半圆分布）揭示了字符组合背后的规律，这提示着可能存在某些有趣的数学结构和规则。
文章的核心内容围绕"字符求和规则"展开，特别是对W表示的解析，其中涉及到剪切和连接运算符的字符分解。出人意料的是，这种分解仅与单钩形图相关，并且需要非平凡的求和标识来完成。这一发现可能暗示着一种简化的方法，使得复杂的问题可以通过分析这些基本图形结构来解决。
作者A.Mironova和A.Morozov来自俄罗斯的Lebedev物理研究所、ITEP（莫斯科信息传输问题研究所）和BITP（莫斯科物理技术学院），他们通过电子邮件mironov@lpi.ru和morozov@itep.ru提供联系信息。论文发表于2018年的《Journal of High Energy Physics》(JHEP)第8期，是开放获取的资源，表明其研究成果可供公众查阅和研究。
本文深入剖析了矩阵模型中字符保留属性带来的数学特性及其在理论计算中的应用，尤其是在处理大N极限下的半圆分布时，它不仅推动了计算机科学的实际应用，也引发了对基础数学概念的新理解。
JHEP08(2018)163
where we explicitly write down a few typical terms in the expansion at the r.h.s. Expansion
coefficients here are:
ξ
(1)
0
= 1, ξ
(1)
1
=
m + 1
2
,
ξ
(1)
2
=
(m + 1)(5m − 2)
12
, ξ
(1)
3
=
(m + 1)(35m
2
− 77m + 12)
72
,
ξ
(1)
4
=
(m + 1)(175m
3
− 945m
2
+ 1094m − 72)
240
, . . .
The simplest here is the p
2m
1
term: it comes from the contribution χ
R
{δ
k,1
}p
|R|
1
to χ
R
{p},
and the coefficient cancels the denominator (1.2) so that the remaining sum is calculated
with the help of the Cauchy formula,
X
R
χ
R
(N)χ
R
{δ
k,2
}p
|R|
1
= e
Np
2
1
/2
=
X
m
p
2m
1
2
m
m!
· N
m
(2.8)
One can say that the p
m
2
term is also easy, since it can be obtained by differentiating
the Gaussian integral:
(−2∂
µ
)
m
µ
−N
2
/2
=
N
2
(N
2
+ 2) . . . (N
2
+ 2m − 2)
µ
m
µ
−N
2
/2
.
However, from the point of view of the sum (1.2), this is already a non-trivial sum rule for
the dimensions D
N
= χ
R
(N):
X
R`m
χ
R
{δ
k,2
}
2
χ
R
{δ
k,1
}
· D
R
(N) =
1
2
m
m!
·
m
Y
i=1
(N
2
+ 2i − 2) (2.9)
For m = 1, it is still trivial:
(1/2)
2
1/2
·
N(N + 1)
2
+
(1/2)
2
1/2
·
N(N −1)
2
=
N
2
2
,
but already for m = 2 it is not:
(1/8)
2
1/24
·
N(N + 1)(N + 2)(N + 3)
24
+
(−1/8)
2
1/8
·
(N − 1)N (N + 1)(N + 2)
8
+
(1/4)
2
1/12
·
(N − 1)N
2
(N + 1)
12
+
(−1/8)
2
1/8
·
(N + 1)N (N − 1)(N − 2)
8
+
(1/8)
2
1/24
·
N(N − 1)(N − 2)(N − 3)
24
=
2
64
(N
4
+ 11N
2
) +
2
64
(N
4
− N
2
) +
1
16
(N
4
− N
2
)
=
N
2
(N
2
+ 2)
2
2
· 2!
.
The natural question is how one can handle all the variety of the sum rules for characters,
which arise in this way.
The question becomes even more interesting, because the result (1.2) of [1] possesses
wide generalizations: to various deformations (q−, t− of [30–32] and many other) of matrix
models [19] and, in another direction, to Aristotelian and other tensor models [33–39]. At
the same time, already at the Hermitian matrix model level, it has important applications,
the currently fashionable ones being related to localization formulas [40–61] in conformally
invariant supersymmetric field theories, which reduce perturbative contributions to certain
correlators to those in the Gaussian matrix model averages [62–64].
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