深度学习中的交叉熵损失与softmax回归解析

该资源主要涉及的是线性神经网络中的两个关键概念——交叉熵损失函数和softmax回归。这部分内容是深度学习基础中的重要知识点，通常用于多分类问题。 ### 3.1 交叉熵损失函数 交叉熵损失函数是深度学习中评估模型预测与实际标签匹配程度的一种常用方式，尤其在多分类任务中。它衡量的是模型预测概率分布与真实类别标签之间的差异。公式如下： $$ l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=-\sum_{j=1}^qy_j\log\hat{y}_j $$ 其中，$\mathbf{y}$是实际的类别标签向量，而$\hat{\mathbf{y}}$是模型预测的概率分布。这个损失函数鼓励模型预测的高概率值对应于正确的类别。如果模型预测正确，对应的$\hat{y}_j$值接近1，那么损失函数值接近0。 在Python中，可以使用PyTorch库来实现交叉熵损失计算： ```python def cross_entropy(y_hat, y): return -torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y]) ``` 这里的`y_hat`是模型预测的每个样本在各类别的概率，`y`是相应的标签。 ### 3.2 softmax回归 softmax函数是一种非线性转换，用于将神经网络的线性输出转换成概率分布。它的作用是确保所有类别的预测概率和为1，形成一个有效的概率分布。softmax的三个步骤如下： 1. **指数运算**：对每个线性输出项进行指数运算（即$e^x$）。 2. **行和**：对每行（每个样本）的所有指数结果求和，得到归一化常数。 3. **归一化**：将每行的每个指数项除以对应的行和，这样每个样本的预测概率总和为1。 softmax函数的数学表达式为： $$ \text{softmax}(z_i)=\frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^K e^{z_j}} $$ 这里，$z_i$是第$i$类的线性输出，$K$是总的类别数。 ### 3.3 softmax回归 softmax回归是一种线性分类模型，用于多分类问题。权重参数矩阵$\mathbf{W}$和偏差向量$\mathbf{b}$定义了输入特征与输出类别的关系。模型的输出首先通过一个线性组合（特征乘以权重加上偏差），然后通过softmax函数得到概率分布。损失函数通常选择交叉熵，以最小化预测概率分布与真实标签之间的差异。 在训练过程中，通过梯度下降等优化方法更新$\mathbf{W}$和$\mathbf{b}$，以降低交叉熵损失，从而提高模型预测的准确性。 总结来说，这部分内容讲解了如何使用交叉熵损失函数评估和训练softmax回归模型，以及softmax函数的计算过程。这些是理解并实现深度学习模型，特别是多分类任务的基础。