Python科学编程入门：数学与自然科学示例

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Contents

8.8.2 Example: Random growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

8.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499

9 Object-oriented programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

9.1 Inheritance and class hierarchies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

9.1.1 A class for straight lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

9.1.2 A ﬁrst try on a class for parabolas . . . . . . . . . . . . . 519

9.1.3 A class for parabolas using inheritance. . . . . . . . . . 519

9.1.4 Checking the class type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

9.1.5 Attribute vs inheritance: has-a vs is-a relationship 522

9.1.6 Superclass for deﬁning an interface . . . . . . . . . . . . . 524

9.2 Class hierarchy for numerical diﬀerentiation . . . . . . . . . . . 526

9.2.1 Classes for diﬀerentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

9.2.2 Veriﬁcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

9.2.3 A ﬂexible main program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

9.2.4 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

9.2.5 Alternative implementation via functions . . . . . . . 536

9.2.6

Alternative implementation via functional

programming. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

9.2.7 Alternative implementation via a single class . . . . 538

9.3 Class hierarchy for numerical integration . . . . . . . . . . . . . 540

9.3.1 Numerical integration methods . . . . . . . . . . . . . . . . 540

9.3.2 Classes for integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542

9.3.3 Veriﬁcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

9.3.4 Using the class hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

9.3.5 About object-oriented programming . . . . . . . . . . . . 548

9.4 Class hierarchy for making drawings . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

9.4.1 Using the object collection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

9.4.2 Example of classes for geometric objects . . . . . . . . 560

9.4.3 Adding functionality via recursion . . . . . . . . . . . . . 565

9.4.4 Scaling, translating, and rotating a ﬁgure . . . . . . . 568

9.5 Classes for DNA analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

9.5.1 Class for regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

9.5.2 Class for genes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571

9.5.3 Subclasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576

9.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

9.6.1 Chapter topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

9.6.2 Example: Input data reader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

9.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

A Sequences and diﬀerence equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

A.1 Mathematical models based on diﬀerence equations . . . . 596

A.1.1 Interest rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

A.1.2 The factorial as a diﬀerence equation . . . . . . . . . . . 600

A.1.3 Fibonacci numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

Contents xix

A.1.4 Growth of a population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

A.1.5 Logistic growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

A.1.6 Payback of a loan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604

A.1.7 The integral as a diﬀerence equation . . . . . . . . . . . 605

A.1.8 Taylor series as a diﬀerence equation . . . . . . . . . . . 607

A.1.9 Making a living from a fortune . . . . . . . . . . . . . . . . 609

A.1.10Newton’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609

A.1.11The inverse of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613

A.2 Programming with sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

A.2.1 Writing sound to ﬁle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

A.2.2 Reading sound from ﬁle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

A.2.3 Playing many notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

A.2.4 Music of a sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

A.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621

B Introduction to discrete calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

B.1 Discrete functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

B.1.1 The sine function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

B.1.2 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637

B.1.3 Evaluating the approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . 638

B.1.4 Generalization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639

B.2 Diﬀerentiation becomes ﬁnite diﬀerences . . . . . . . . . . . . . . 640

B.2.1 Diﬀerentiating the sine function . . . . . . . . . . . . . . . 641

B.2.2 Diﬀerences on a mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

B.2.3 Generalization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644

B.3 Integration becomes summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645

B.3.1 Dividing into subintervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645

B.3.2 Integration on subintervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

B.3.3 Adding the subintervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648

B.3.4 Generalization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648

B.4 Taylor series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650

B.4.1 Approximating functions close to one point. . . . . . 650

B.4.2 Approximating the exponential function . . . . . . . . 651

B.4.3 More accurate expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651

B.4.4 Accuracy of the approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 653

B.4.5 Derivatives revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655

B.4.6 More accurate diﬀerence approximations . . . . . . . . 656

B.4.7 Second-order derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658

B.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660

C Introduction to diﬀerential equations . . . . . . . . . . . . . . . . 667

C.1 The simplest case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668

C.2 Exponential growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670

C.3 Logistic growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675

C.4 A simple pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676

Contents

C.5 A mo del for the spread of a disease . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679

C.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681

D A complete diﬀerential equation project . . . . . . . . . . . . . 685

D.1 About the problem: motion and forces in physics . . . . . . 685

D.1.1 The physical problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685

D.1.2 The computational algorithm. . . . . . . . . . . . . . . . . . 688

D.1.3 Derivation of the mathematical model . . . . . . . . . . 688

D.1.4 Derivation of the algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691

D.2 Program development and testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692

D.2.1 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692

D.2.2 Callback functionality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695

D.2.3 Making a mo dule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697

D.2.4 Veriﬁcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697

D.3 Visualization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700

D.3.1 Simultaneous computation and plotting . . . . . . . . . 701

D.3.2 Some applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703

D.3.3 Remark on choosing Δt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704

D.3.4 Comparing several quantities in subplots . . . . . . . . 704

D.3.5 Comparing approximate and exact solutions . . . . . 705

D.3.6 Evolution of the error as Δt decreases . . . . . . . . . . 706

D.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710

E Programming of diﬀerential equations . . . . . . . . . . . . . . . 713

E.1 Scalar ordinary diﬀerential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 714

E.1.1 Examples on right-hand-side functions . . . . . . . . . . 714

E.1.2 The Forward Euler scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716

E.1.3 Function implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717

E.1.4 Verifying the implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718

E.1.5 From discrete to continuous solution . . . . . . . . . . . 720

E.1.6 Switching numerical method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720

E.1.7 Class implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721

E.1.8 Logistic growth via a function-based approach . . . 725

E.1.9 Logistic growth via a class-based approach . . . . . . 725

E.2 Systems of ordinary diﬀerential equations . . . . . . . . . . . . . 728

E.2.1 Mathematical problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728

E.2.2 Example of a system of ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . 730

E.2.3 Function implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731

E.2.4 Class implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734

E.3 The ODESolver class hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735

E.3.1 Numerical methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735

E.3.2 Construction of a solver hierarchy . . . . . . . . . . . . . . 737

E.3.3 The Backward Euler method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

E.3.4 Veriﬁcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742

E.3.5 Example: Exponential decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743

Contents xxi

E.3.6

Example: The logistic equation with problem and

solver classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746

E.3.7 Example: An oscillating system . . . . . . . . . . . . . . . . 753

E.3.8 Application 4: the trajectory of a ball . . . . . . . . . . 755

E.3.9 Further developments of ODESolver . . . . . . . . . . . . 756

E.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758

F Debugging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793

F.1 Using a debugger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793

F.2 How to debug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796

F.2.1 A recipe for program writing and debugging . . . . . 796

F.2.2 Application of the recipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799

F.2.3 Getting help from a code analyzer . . . . . . . . . . . . . 811

G Migrating Python to compiled code . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

G.1 Pure Python code for Monte Carlo simulation . . . . . . . . . 814

G.1.1 The computational problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814

G.1.2 A scalar Python implementation . . . . . . . . . . . . . . . 814

G.1.3 A vectorized Python implementation . . . . . . . . . . . 815

G.2 Migrating scalar Python code to Cython . . . . . . . . . . . . . 817

G.2.1 A plain Cython implementation . . . . . . . . . . . . . . . 817

G.2.2 A better Cython implementation . . . . . . . . . . . . . . 819

G.3 Migrating code to C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821

G.3.1 Writing a C program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821

G.3.2 Migrating loops to C code via F2PY . . . . . . . . . . . 822

G.3.3 Migrating loops to C code via Cython . . . . . . . . . . 823

G.3.4 Comparing eﬃciency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824

H Technical topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827

H.1 Getting access to Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827

H.1.1 Required software. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827

H.1.2

Installing software on your laptop: Mac OS X and

Windows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828

H.1.3 Anaconda and Spyder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829

H.1.4 VMWare Fusion virtual machine . . . . . . . . . . . . . . . 830

H.1.5 Dual boot on Windows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833

H.1.6 Vagrant virtual machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833

H.1.7 How to write and run a Python program . . . . . . . . 834

H.1.8 The SageMathCloud and Wakari web services . . . 836

H.1.9 Writing IPython notebooks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838

H.2 Diﬀerent ways of running Python programs . . . . . . . . . . . 839

H.2.1 Executing Python programs in iPython . . . . . . . . . 839

H.2.2 Executing Python programs in Unix. . . . . . . . . . . . 840

H.2.3 Executing Python programs in Windows . . . . . . . . 841

H.2.4 Executing Python programs in Mac OS X . . . . . . . 843

H.2.5 Making a complete stand-alone executable . . . . . . 843

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粉丝: 1
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