离散时间傅里叶变换详解：从DFS到DTFT的连续谱理解

离散时间傅里叶变换(DTFT)是信号处理领域中的核心概念，它是在连续时间傅立叶变换(CTFT)的基础上针对离散时间信号进行分析的工具。本文档详细介绍了DTFT的理论基础，分为7个小节，旨在全面深入地探讨DTFT的概念、推导过程以及其在离散时间信号分析中的应用。 首先，文档指出连续时间傅立叶级数(CFS)和离散时间傅立叶级数(DFS)的区别，前者适用于连续时间周期信号，后者则对应离散时间信号。连续时间傅立叶变换(CTFT)是处理连续信号的工具，而离散时间傅立叶变换(DTFT)则是离散信号的频率域表示，它是通过对离散时间周期信号的频谱性质进行观察和归纳得到的。 在第2页，我们了解到非周期信号在频域上的特点。作者通过讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱随周期N增加的变化规律，揭示出当N趋向无穷大时，非周期信号的频谱会变得无限密集，最终形成连续频谱。这一过程表明DTFT能有效地处理非周期信号，将它们的频谱扩展至整个频率域。 第3页展示了周期性离散时间方波脉冲信号的频谱示例，直观地展示了频谱随着周期N的增大而变化的情况。这一部分强调了DTFT如何从DFS的概念出发，处理周期性信号并延伸到非周期信号的分析。 在第4页，作者通过数学推导阐述了当周期信号的周期无限增大时，DTFT的极限行为，使得频谱线密度趋于无限，从而得到非周期信号的连续频谱。同时，这里还涉及了DTFT的定义和性质，如其定义为无限序列的积分，并指出ω是以2π为周期的。 第5页进一步解释了DTFT的具体计算形式和性质。通过对比周期信号的DFS和DTFT，我们看到对于周期信号，DTFT的计算结果与DFS在某些条件下存在关系，如在有限范围内的积分结果等于DFS的平均值。这一部分强调了DTFT是周期信号频谱的连续扩展，且积分区间通常为2π。 总结来说，这篇文档深入探讨了离散时间傅里叶变换的理论基础，包括其推导过程、非周期信号的频谱表示以及与连续时间傅立叶变换的关系。读者可以从中学到如何运用DTFT来分析和理解离散时间信号的频域特性，这对于理解和设计数字信号处理系统具有重要意义。此外，文中引用的经典教材《信号与系统》第二版，提供了更深入的学习资源。