数值分析：矩阵QR分解与特征值求解算法

"北航数值分析大作业涉及矩阵QR分解、拟上三角化及带双步位移的QR方法来求解实矩阵的全部特征值。" 在这道北航数值分析大作业的第二题中，主要涉及了三个关键概念：矩阵的QR分解、矩阵的拟上三角化以及带双步位移的QR方法。这些是线性代数和数值分析中的重要算法，用于处理线性系统、求解特征值问题等。 1. **矩阵的QR分解**： QR分解是将任意一个m×n矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。这一过程通常通过Householder反射或Givens旋转实现。在给出的算法中，通过迭代的方式逐步构造Q和R，确保在每一步迭代后，A的下方主对角线元素变为0，形成上三角矩阵R，并更新正交矩阵Q。 2. **矩阵的拟上三角化**： 拟上三角化是对实矩阵A进行相似变换，使其变为一个上三角形式，但允许主对角线以下存在非零元素。这里采用的是一种迭代算法，通过行操作使得矩阵的某些列变为0，从而逼近上三角形式。在每一步迭代中，检查列是否有全零元素，然后通过计算和替换来实现拟上三角化。 3. **带双步位移的QR方法求特征值**： 这是一种改进的QR迭代方法，用于求解实对称矩阵或一般实矩阵的全部特征值。首先对矩阵进行拟上三角化，然后在每一步迭代中检查位移条件，通过解决较小规模的子问题来获取特征值。如果满足特定条件，则可以直接得出特征值，否则进行下一轮迭代，直至达到预设的精度或迭代次数上限。 4. **算法的主过程**： - 生成原始矩阵A，可以是随机生成或者根据特定公式设定； - 对矩阵A进行拟上三角化，得到类似上三角的矩阵； - 应用带双步位移的QR方法，逐步求解矩阵的所有特征值； - 对于每个找到的特征值，解相应的特征向量，即线性方程组。 这道作业的目的是让学生深入理解并掌握这些数值计算方法，它们在科学计算、数据分析和工程问题中具有广泛的应用。通过实际操作和编程实现，学生能够更好地领会QR分解、拟上三角化和特征值求解的原理及其实际效果。