红黑树性质证明与插入操作分析：深度、节点数与效率

本题是大连理工大学算法设计课程2011届研究生期末考试题目，主要涉及红黑树的数据结构与性质分析。红黑树是一种自平衡二叉查找树，其特点是每个节点都被标记为红色或黑色，满足以下性质： 1. 每个节点都是红色或黑色。 2. 根节点是黑色。 3. 所有叶子节点（空节点）都是黑色。 4. 如果一个节点是红色，那么它的两个子节点必须是黑色。 5. 对于每个节点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点（黑色高度）。 问题一：红黑树的内部节点数量范围 - 下界：证明了红黑树T的内部黑节点数至少为2h-1。通过数学归纳法，当树的高度为0时，仅有一个外部节点的红黑树（RB0）的内部黑节点数N0为0，满足条件。递归地假设当高度为i时，内部黑节点数Ni满足Ni>=2i-1，那么在高度为i+1时，无论根节点的左右子树是RBi还是ARBh，都能保证新的内部黑节点数Ni+1至少为2Ni+1，因此下界成立。 - 上界：同样用归纳法，高度为0的红黑树仅有0个内部节点，当高度为i时，若Mi<=4i-1，那么在高度为i+1时，根节点的左右子树为ARBi+1时，T的内部节点数最多Mi+1<=4Ni+1<=4i+1-1，上界也得到证明。 问题二：红黑树节点深度与黑色深度的关系 - 黑色节点深度：证明了任意黑色节点的深度最多是其黑色深度的2倍。这个结论基于红黑树的性质，红色节点不会导致深度增加超过黑色节点的数量，因此经过的边数（节点总数）最多是黑色节点的两倍。 问题三：红黑树的构建过程 - 给定输入序列1.6, 4, 8, 9, 7, 2, 5, 3，考生需根据红黑树的插入规则，逐步构造出对应的红黑树形态。这要求理解如何保持红黑树的性质，比如在插入新元素时进行旋转和颜色调整。 问题四：数组大小扩增的比较 - 当需要增大数组时，提供了两种策略：将当前数组大小乘以2或4。分析了两种方法的时间复杂性和空间消耗。通过比较复制元素到新序列所需的时间（假设为t），以及随着数组扩张次数的增长，计算总的复制时间。结果显示，以双倍方式复制的时间复杂度更低，但四倍复制在空间消耗上可能更优。 总结，本题考查了红黑树的基本理论、构造以及应用，要求考生熟练掌握红黑树的性质，并能灵活运用到实际问题的分析中。