图论作业：理解邻接矩阵与关键概念

本资源主要涉及第七章图论作业中的理论与实践问题，包括选择题、填空题和综合题。以下是详细的知识点解析： 1. **对称矩阵与图类型**： 选择题1指出，邻接矩阵是对称的图类型是（B）无向图。在无向图中，因为没有方向性，顶点之间的边关系是双向的，所以邻接矩阵是对称的，即A[i][j] = A[j][i]。 2. **连通图边数下限与有向完全图边数**： - 无向连通图的边数下限为 _n-1_ ，因为至少需要连接所有顶点形成一个连通块。 - 有向完全图中，每个顶点都与其他所有顶点相连，因此包含的边数为 _n(n-1)_ 条，其中n为顶点数。 3. **图结构度量**： - 在带权有向图中，顶点i的入度等于邻接矩阵中第i列非∞且非0的元素个数，这代表指向该顶点的边的数量。 - 无向图中所有顶点的度数之和等于所有边数的2倍，这是由于每条边连接两个顶点，被计算两次。 4. **矩阵大小与图结构**： - 邻接矩阵的大小表示为n×n，其中n为顶点数，所以对于无向图，矩阵大小是 _n2_。 5. **拓扑排序与AOE网**： - 拓扑序列用于表示有向无环图的线性顺序，无环图必须有拓扑排序，但不一定唯一。 - AOE网（活动-结点-边网络）中，关键活动的最迟开始时间等于最早开始时间，因为它们是关键路径上的活动。 6. **最小生成树与工程网络**： - 最小生成树是连通网中边权值之和最小的生成树，它不一定是顶点最少的，也不一定是最小的连通子图。 - 关键路径是达到目标节点的最长路径，可以有多条。 7. **有向图弧度总和**： 对于一个有向图，如果有n条弧（即边），所有顶点的度（包括入度和出度）的总和为2n，因为每条弧连接两个顶点。 **填空题与综合题**： - 综合题部分要求分析无向网的邻接矩阵表示、最小生成树的构建、以及连通图的邻接矩阵和邻接链表存储，这些都是实际操作技能的考察，涉及到图的表示方法（矩阵和链表）、生成树的求解（如克鲁斯卡尔算法）等。 在解决这类题目时，学生需要熟悉图论的基本概念，理解邻接矩阵的构造规则，掌握寻找最小生成树的方法，以及运用拓扑排序等算法来处理各种图的问题。通过这些题目，学生能够巩固对图论基础知识的理解，并提高实际问题解决能力。