基于滤波的多输入多输出哈梅尔林模型递归最小二乘参数估计算法
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更新于2024-08-30
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本文主要探讨了"基于滤波的递归最小二乘法(RLS)在多输入多输出(Hammerstein)系统参数估计中的应用"。该研究论文由Ziyun Wang、Yan Wang和Zhicheng Ji合作完成，他们来自江南大学轻工先进过程控制重点实验室，地址位于中国无锡。论文发表于2014年，学术编辑为Haranath Kar，并遵循Creative Commons Attribution许可证，允许在任何媒体上无限制地使用、分发和复制，只要原始作品得到正确引用。
Hammerstein模型是一种广泛应用于控制系统设计的结构，它将非线性部件（如饱和放大器或记忆元件）与线性动态系统相结合。在多输入多输出(MIMO)情况下，这种模型更复杂，因为系统同时处理多个输入和输出信号。论文的核心关注点是处理这类系统的参数估计问题，特别是当模型采用有限 impulse response (FIR-MAR)结构时。
滤波技术在这个过程中起着关键作用，通过将FIR-MAR模型与噪声传递函数结合，作者将其转化为一个受控自回归模型。这种转换使得参数估计变得更加有效，因为滤波可以减少噪声对估计结果的影响。数据滤波的基础上，论文提出了一个基于递归最小二乘法的算法，这种方法在迭代过程中不断优化模型参数，以达到最小化误差的目的。
通过数值例子，论文展示了所提出的算法的有效性和鲁棒性，它能够在实际情况下提供准确且稳定的参数估计。这对于控制系统的设计和优化具有重要的实际意义，特别是在处理具有非线性特性的多输入多输出系统时。这篇研究不仅深化了对MIMO Hammerstein系统理解，还提供了一种实用的工具来解决此类系统中的参数估计问题。
Mathematical Problems in Engineering 3
Distinguished from the hierarchical identication methods,
we reparameterize the model in (7)byusingtheKronecker
product to get a parameter matrix 𝜗 and by gathering
the input information vectors 𝜑
1
() and 𝜑
2
() and output
information matrix 𝜑
𝑛
()into one information matrix Ψ()
to obtain an information matrix Ψ()as follows:
𝜗 :=
𝜃
𝑠
𝜃
𝑛
∈R
𝑛
0
,
0
:=
𝑏
+
𝑐
+
𝑑
,
𝜃
𝑠
:=
col 𝜃
𝑇
1
𝜃
2
∈R
𝑚𝑟𝑛
𝑏
+𝑛
𝑐
,
Ψ
(
)
:=𝜑
𝑠
(
)
,𝜑
𝑛
(
)
∈R
𝑚×𝑛
0
,
𝜑
𝑠
(
)
:=𝜑
𝑇
1
(
)
⊗I
𝑚
,𝜑
2
(
)
∈R
𝑚×(𝑚𝑟𝑛
𝑏
+𝑛
𝑐
)
.
(10)
us, we obtain
y
(
)
=Ψ
(
)
𝜗 +k
(
)
.
(11)
Equation (11) is the identication model of the multivariable
Hammerstein FIR-MA system. Dening and minimizing the
cost function
(
𝜗
)
:=
y
(
)
−Ψ
(
)
𝜗
2
(12)
andusingtheleastsquaressearchprinciple,weobtainthe
following recursive least squares algorithm [35]toobtain
parameter estimates
𝜗():
𝜗
(
)
=
𝜗
(
−1
)
+L
(
)
y
(
)
−Ψ
(
)
𝜗
(
−1
)
,
(13)
L
(
)
=P
(
−1
)
Ψ
𝑇
(
)
I
𝑚
+Ψ
(
)
P
(
−1
)
Ψ
𝑇
(
)
−1
,
(14)
P
(
)
=I
𝑛
0
−L
(
)
Ψ
(
)
P
(
−1
)
, P
(
0
)
=
0
I
𝑛
0
. (15)
Since the information matrix Ψ() in (13)containsthe
unknown intermediate variables
u(−)and the unmeasur-
able terms k(−), the recursive algorithm in (13)–(15)cannot
compute the parameter estimate
𝜃().esolutionhereis
replacing the unknown intermediate variables
u(−)and the
unmeasurable terms k(−)in Ψ()with the variable estimates
(or the outputs of the auxiliary model)
u( − ) and the
estimates
k(−)based on the auxiliary model identication
idea. e replaced information matrices are dened as
Ψ
(
)
:=
𝜑
𝑠
(
)
,
𝜑
𝑛
(
)
∈R
𝑚×𝑛
0
,
𝜑
𝑠
(
)
:=
𝜑
𝑇
1
(
)
⊗I
𝑚
,𝜑
2
(
)
∈R
𝑚×(𝑚𝑟𝑛
𝑏
+𝑛
𝑐
)
,
𝜑
1
(
)
:=
u
𝑇
(
−1
)
,
u
𝑇
(
−2
)
,...,
u
𝑇
−
𝑏
𝑇
∈R
𝑟𝑛
𝑏
,
𝜑
𝑛
(
)
:=
k
(
−1
)
,
k
(
−2
)
,...,
k −
𝑑
∈R
𝑚×𝑛
𝑑
.
(16)
Dene the parameter estimation matrices
𝜗
(
)
:=
𝜃
𝑠
(
)
𝜃
𝑛
(
)
∈R
𝑛
0
,
𝜃
𝑠
(
)
:=
col
𝜃
𝑇
1
(
)
𝜃
2
(
)
∈R
𝑚𝑟𝑛
𝑏
+𝑛
𝑐
,
𝜃
𝑇
1
(
)
:=
B
1
(
)
,
B
2
(
)
,...,
B
𝑛
𝑏
(
)
∈R
𝑚×(𝑟𝑛
𝑏
)
,
𝜃
2
(
)
:=
1
(
)
,
2
(
)
,...,
𝑛
𝑐
(
)
𝑇
∈R
𝑛
𝑐
,
𝜃
𝑛
(
)
:=
1
(
)
,
2
(
)
,...,
𝑛
𝑑
(
)
𝑇
∈R
𝑛
𝑑
.
(17)
By replacing the parameters
𝑖
(=1,2,...,
𝑐
)in (4)with
𝑖
(),theoutputoftheproposedauxiliarymodel
u()is given
by
u
(
)
=
𝑛
𝑐
𝑖=1
𝑖
(
)
𝛾
𝑖
(
u
(
))
=
1
(
)
𝛾
1
(
u
(
))
+
2
(
)
𝛾
2
(
u
(
))
+⋅⋅⋅+
𝑛
𝑐
(
)
𝛾
𝑛
𝑐
(
u
(
))
.
(18)
From (11), we obtain k()=y()−Ψ()𝜗.ReplacingΨ()and
𝜗 with
Ψ()and
𝜗(−1),theresidual
k()can be written as
k()=y()−
Ψ()
𝜗(−1).
Tosummarize,weconcludethefollowingrecursiveleast
squares algorithm for multivariable Hammerstein FIR-MA
models (the MRLS algorithm for short):
𝜗
(
)
=
𝜗
(
−1
)
+L
(
)
y
(
)
−
Ψ
(
)
𝜗
(
−1
)
,
L
(
)
=P
(
−1
)
Ψ
𝑇
(
)
I
𝑚
+
Ψ
(
)
P
(
−1
)
Ψ
𝑇
(
)
−1
,
P
(
)
=I
𝑛
0
−L
(
)
Ψ
(
)
P
(
−1
)
,
u
(
)
=
𝑛
𝑐
𝑖=1
𝑖
(
)
𝛾
𝑖
(
u
(
))
,
k
(
)
=y
(
)
−
Ψ
(
)
𝜗
(
−1
)
,
Ψ
(
)
=
𝜑
𝑇
1
(
)
⊗I
𝑚
,𝜑
2
,
𝜑
𝑛
(
)
,
𝜑
1
(
)
=
u
𝑇
(
−1
)
,
u
𝑇
(
−2
)
,...,
u
𝑇
−
𝑏
𝑇
,
𝜑
2
(
)
=𝜂
1
(
)
,𝜂
2
(
)
,...,𝜂
𝑛
𝑐
(
)
,
𝜂
𝑖
(
)
=
𝛾
𝑖
(
u
(
))
0
,
𝜑
𝑛
(
)
=
k
(
−1
)
,
k
(
−2
)
,...,
k −
𝑑
,
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