北航数值分析作业：幂法与反幂法求解特征值

"北航数值分析大作业，主要涉及幂法和反幂法求解线性矩阵的特征值以及条件数的计算。" 在数值分析领域，特征值问题是一个核心议题，特别是在处理大型线性系统时。这个北航的数值分析大作业重点讲述了如何运用幂法和反幂法来求解501x501的带状线性矩阵的特征值，并计算相应的条件数。 1. 幂法（Power Method）是求解矩阵最大模特征值的常用方法。基本思想是通过不断迭代矩阵与向量的乘积，使得初始向量逐渐接近对应最大特征值的特征向量。在迭代过程中，当向量的模值变化趋于稳定时，对应的商即为最大特征值。在本作业中，首先使用幂法求得按模最大的特征值λ_max，然后利用已知的λ_max求得第二大的特征值λ_2。 2. 反幂法（Inverse Power Method）则是用于寻找最小模特征值的方法。在已知最大特征值的情况下，通过对矩阵进行适当的位移（例如，使用(A - λ_max I)），可以将最小特征值变为新的最大特征值，从而再次应用幂法求解。在本作业中，反幂法被用来计算特征值λ_min，即矩阵的最小模特征值。 3. 条件数（Condition Number）是衡量矩阵运算稳定性的一个关键指标，对于线性系统来说，条件数高意味着解的敏感性高，微小的矩阵改变可能导致解的巨大变化。在本例中，条件数κ(A)可以通过最大特征值λ_max与最小特征值λ_min的比值来计算，即κ(A) = λ_max / λ_min，这有助于分析矩阵的数值稳定性。 4. 在程序实现部分，使用了C++语言编写，包括矩阵的赋值函数、LU分解求行列式函数、幂法和反幂法的计算函数等。LU分解是求解线性方程组的一种有效手段，同时也可以用来计算矩阵的行列式，即所有对角线元素的乘积。 通过这个大作业，学生将深入理解幂法和反幂法的原理，以及如何在实际编程中应用这些方法。同时，计算条件数有助于理解矩阵运算的数值稳定性，这对后续的数值计算和数据分析具有重要意义。