MATLAB数值积分与微分：从理论到实践

"这篇资料是关于使用MATLAB进行数值积分与微分的讲解，由中南大学材料科学与工程学院的唐建国主讲。主要内容包括数值积分的各种方法，如矩形、梯形、抛物线形积分近似计算，牛顿-科茨公式，自适应Simpson求积法，以及高斯求积法。此外，还涉及数值微分以及MATLAB内置的积分和微分函数的使用。实例中展示了如何对一组离散的温度-应变速率数据进行插值处理，以进行后续的数值计算。" 在MATLAB中，数值积分是解决无法直接求得原函数或函数解析形式未知时的积分问题的关键。这里介绍了几种常用的数值积分方法： 1. **矩形积分近似计算**：将积分区间分成多个小矩形，每个矩形的宽为Δx，高为f(xi)，然后将所有矩形面积相加，作为积分的近似值。 2. **梯形积分近似计算**：在每个小区间上，使用梯形代替矩形，梯形的两个底边分别是区间的左右端点，高为f(xi)和f(xi+1)的平均值。梯形法比矩形法更精确，因为它考虑了函数在区间内的变化。 3. **抛物线形积分近似计算**：进一步改进，通过构造过两端点和区间中点的抛物线来逼近函数，从而得到更准确的积分近似值。 4. **牛顿-科茨（Newton-Cotes）公式**：包括等距节点的插值公式，如辛普森法则（Simpson's rule），它是梯形公式的推广，使用三次多项式插值，能更好地捕捉函数的曲率。 5. **自适应Simpson求积法**：根据函数的局部变化自动调整细分程度，以达到更高的精度。 6. **高斯(Gauss)求积法**：基于特定节点和权重的多项式插值，如 Legendre-Gauss 方法，特别适合高精度积分。 数值微分同样重要，尤其是在实验数据处理中。MATLAB提供了诸如`diff`函数用于差分操作，以及`quad`系列函数用于数值积分。在提供的示例代码中，可以看到如何利用MATLAB设置插值矩阵，将离散的温度-应变速率数据转换为连续的函数，然后可以应用这些数值方法进行计算。 总结来说，理解和掌握MATLAB中的数值积分与微分技术是解决实际工程问题中不可或缺的技能，特别是在数据不完全或函数解析形式未知的情况下。唐建国教授的讲解旨在帮助学习者掌握这些关键概念和工具。