线性方程组迭代法与向量范数详解

在计算方法课件中，第六章（下）主要探讨了线性方程组的迭代法，其中着重讲解了向量和矩阵的范数概念。向量范数是一种用于衡量向量大小和两个向量之间距离的重要工具，在[pic]维实向量空间和[pic]维复向量空间中被定义。一个向量范数需满足非负性、齐次性和三角不等式三个基本性质。 定义1给出了向量范数的一般形式，对于实向量[pic]，其范数[pic]必须满足当且仅当向量为零时取最小值，且具有齐次性和三角不等式。这里特别提到了几种常用的向量范数，如∞-范数、1-范数、2-范数（也称为欧几里得范数或向量的模），它们分别对应不同的度量标准。例如，给定一个向量[pic]，我们可以通过计算[pic]来验证它是否为2-范数。 为了比较不同向量范数的等价性，定义了向量范数的等价性条件，即对于任意两种向量范数[pic]和[pic]，存在常数[pic]使得[pic]。这表明无论选择哪种范数，向量的大小关系保持不变。 此外，课件还涉及向量序列的极限概念，定义了当一个向量序列[pic]收敛到一个向量[pic]时，表示为[pic]。这是在讨论迭代法时，确保算法稳定性和收敛性的关键概念。 计算方法课件通过详细解释向量范数的定义、性质以及它们在解决线性方程组中的应用，为理解迭代方法提供了坚实的数学基础。这些知识在数值分析、优化问题求解以及机器学习等领域都具有重要价值。