线性优化问题解析：基变量与非基变量

"这篇资料主要介绍了线性优化问题中的重要概念——基变量与非基变量，并结合图解法展示了如何解决此类问题。课程由秦华鹏副教授讲解，内容包括线性优化的图解法、单纯形法以及对偶问题等。通过一个具体的例子解释了基变量和非基变量的定义，同时提供了线性优化问题的图解步骤，包括绘制可行域、目标函数等值线以及确定最优解的方法。" 在线性优化问题中，基变量和非基变量是核心概念。当一个线性系统包含多个变量但只有少数独立方程时，存在无限多个解。基变量是指通过这些方程可以直接解出其值的变量，而非基变量则是被人为设定为零的变量。例如，在一个包含两个方程和四个变量的系统中，可以选择任意两个变量为非基变量，将其设为零，然后通过剩下的两个方程解出其他两个变量，这两个变量即为基变量。 在给出的例子中，s1 和 s2 被设定为非基变量，通过解方程得到了 x1 = 331.25 和 x2 = 668.75，它们是基变量。这个过程体现了线性优化问题中解的结构。 图解法是一种直观的解决线性优化问题的方法，适用于二维或三维的问题。步骤包括： 1. 绘制约束条件形成的可行域，这是所有可能解的集合。 2. 画出目标函数的等值线，这些线上的每一点具有相同的目标函数值。 3. 根据目标是最大化还是最小化，确定等值线的移动方向，以找到最优解的位置。 在图示例子中，目标是最大化净收益函数 Z = 100X1 + 140X2，通过移动等值线并寻找与可行域边界相切的点来找到最优解。在这个特定情况下，最优解位于点 A (x1 = 331.25 ha, x2 = 668.75 ha)，对应的净收益为 $113250。 此外，资料还提到了线性优化问题的其他方法，如单纯形法和对偶问题，这些都是更高级且在实际应用中广泛使用的求解技术。单纯形法尤其适用于高维问题，它通过迭代过程在基变量之间交换，逐步逼近最优解。而对偶问题则提供了原问题的另一种形式，有时可以提供更简单的解法或者用于灵敏度分析。 理解和掌握基变量与非基变量的概念，以及如何运用图解法解决线性优化问题，对于理解线性优化的理论和实践都是非常关键的。这些知识不仅适用于理论研究，也在农业规划、资源分配、企业管理等多个领域有广泛应用。