病态条件下的显著性检验与线性回归分析

"这篇文档是关于系统工程导论课程的作业，主要讨论了在病态条件下的线性回归分析，包括样本预处理、特征值分析、线性回归模型的建立、显著性检验以及置信区间的计算。同时，提供了用Matlab实现线性回归的代码示例。" 在系统工程和数据分析中，线性回归是一种常用的方法，用于建立输入变量与输出变量之间的关系模型。在本作业中，讨论了如何在病态条件下进行线性回归分析，这是一个关键问题，因为病态条件可能导致矩阵不可逆或统计分析的不稳定性。 首先，为了使数据具有可比性并消除单位差异，对输入样本矩阵X和输出样本矩阵Y进行归一化处理。公式(2)和(3)展示了如何将样本归一化到零均值和单位标准差，这有助于后续计算的稳定性和有效性。 接着，进行病态分析，这是针对存在多重共线性或者数据矩阵XTX接近奇异的情况。通过计算XTX的特征值，可以判断是否存在病态问题。如果某些特征值接近于零，这意味着矩阵XTX近似奇异，导致线性回归模型的参数估计不稳定。公式(4)和(5)分别表示计算XTX及其正交分解，用于确定需要剔除的特征值。 在剔除了接近零的特征值后，可以进行维度降维，从而降低线性回归模型的复杂性。公式(6)给出了在降维后的线性回归系数的计算方法，利用Um和Tm对XTY进行处理，得到归一化和中心化后的拟合系数。 然后，根据公式(7)，将这些拟合系数转换回原始尺度，并计算截距β0，这个截距是通过平均值的差异得到的。公式(8)展示了如何计算截距。 为了检验线性回归模型的显著性，执行了F检验。在病态条件下，F检验的自由度发生了变化，如公式(9)所示。F检验的结果可以用来判断模型的线性关系是否显著。 最后，根据公式(10)计算了置信区间，这有助于理解预测值的不确定性。在0.05的显著性水平下，提供了回归方程及其置信区间。 在具体实现部分，提供了Matlab代码示例，该代码完成了数据预处理、线性回归模型的构建以及显著性检验。这段代码是理解理论概念并将其应用于实际问题的关键。 这篇作业深入探讨了在病态条件下进行线性回归分析的步骤，包括数据预处理、特征分析、模型建立、显著性检验和置信区间的计算，以及使用Matlab进行实际操作。这对于理解和应用系统工程中的线性回归分析具有重要意义。